Математика для гуманитариев: живые лекции

,2 _ Z — У Z + У

2'

Числа справа состоят из разных простых делителей. В каждое

из чисел простые множители могут входить хоть поодиночке, хоть

z — у z у

в степенях, но пересечении между разложениями —^— ^и —2— ^нет' Например,

z — у о ·

—— =Р_1Р%Р₃.. ,р_к,

g И” 1J ^7

—2 = Ш1'Ш2'Ш₃ ... w_m.

(Вместо 5 и 7 здесь могут быть любые степени.)

С другой стороны, к² = qfq^ ■ ■ ■ q², поэтому

· · · ?/ = P1P2PS ■ ■ -Pkw\w2wl ...w⁷

_m.

Согласно основной теореме арифметики, существует единствен­ное разложение натурального числа на простые множители с точ­ностью до порядка сомножителей. Значит, по обе стороны от знака равенства стоят наборы одинаковых простых чисел. В частности, q² равен произведению двух чисел из правой части.

Так как пересечений простых множителей в наборах pi,... ,pk ш wi,..., w_m нет, то этот квадрат целиком «сидит» в одном из на­боров. Но то же самое можно сказать и про все прочие квадраты!

Поэтому все простые числа набора pi входят в разложение числа

z — у , „

—-— в четных степенях, и то же самое верно для набора Wj. Оле-

^J Z — у Z + у

довательно, числа —^— ¹¹ —^— являются квадратами .

Это очень сильное утверждение (потому что квадратов очень мало среди натуральных чисел). 1,4,16, 25, 36,49 ... — они встре­чаются все реже.

Введем новые обозначения. Так как наши выражения — ква­драты, то обозначим:

х² + у² = 4 т²п² + m⁴ — 2 m

²n² + n⁴ = m⁴ + 2 m²n² + n⁴ =

= (m² + n²)² = г².

Мы видим, что наша формула всегда дает «пифагоровы» трой­ки, но не обязательно положительные и взаимно простые.

Общая формула содержит два произвольных параметра. Для наглядности построим сетку (рис. 137).

Рис. 137. Здесь спрятались все пифагоровы тройки!

В сетке выберем точку с координатами (0; 0) и оси: т впра­во, п вверх. Будем брать точки с координатами (т; п) и подста­влять их в нашу формулу. Например, возьмем точку (2; 1).

х = 2тп = 2 · 2 · 1 = 4,

у = _т² - п² = 2² - I² = 3, z

= т² + п² = 2² + I² = 5.

Давайте возьмем что-нибудь более сложное. Напомню, что для по­лучения минимальных пифагоровых троек нам подходят только т п 0 с разной четностью.

Возьмем, например, (5; 2). Получим х = 20, у = 21, г = 29.

При подстановке мы увидим, что у нас появляются разные ви­ды треугольников. Узкие вытянутые треугольники, у которых ка- тот и гипотенуза отличаются на единицу: 12, 5, 13. Треугольники, у которых катеты почти равны друг другу: 20, 21, 29 (рис. 138).

Какую точку па окружности даст нам треугольник 3, 4, 5? Точку (3/5; 4/5). Стороны 20, 21, 29 породят точку (20/29; 21/29). Для любой точки, которая попадает на окружность, сумма квадра­тов координат должна быть равна единице. Но не любая из этих точек рациональна.

Нужно найти все такие точки. Возьмем одну очевидную рацио­нальную точку с координатами (0, — 1).

Слушатель: А почему не (0; 1) или какую-то другую?

А.С: В принципе, можно выбрать какую угодно точку окружно­сти. Я выбрал такую точку, при которой формулы будут выглядеть проще всего.

Давайте предположим, что есть еще одна рациональная точка (х.у). Тогда прямая, которая проходит через эти две точки, имеет уравнение с рациональными коэффициентами (см. рис. 139). До­кажем это.

Рис. 139. Прямая, проходящая через точку (0,-1) и еще одну рациональ­ную точку, обладает рациональным коэффициентом наклона.

Давайте посмотрим, как выглядит уравнение прямой, проходя­щей через точку (0, —1) в общем случае. Вспомним, что у = кх+Ь уравнение прямой «с угловым коэффициентом и свободным чле­ном».

Если она проходит через точку (0,-1), то при подстановке х = 0, у = — 1 в наше уравнение мы должны получить верное равенство. Подставим: —1 = 0к + Ь, откуда Ь = — 1. то есть наше уравнение имеет вид у = кх — 1.

Мы получили общий вид прямой, проходящий через точку (0;—1). При разных к мы будем получать прямые с разным на­клоном (рис. 140).

случае рациональными числами, а отношение двух рациональных чисел является рациональным числом. Говорят, что рациональные числа «образуют поле», так как сумма, разность, произведение и частное дробей являются дробью.

Итак, если точка рациональная, то и наклон прямой, проходя­щей через нее и через точку (0; — 1) будет рациональным числом. Теперь мы докажем и обратное: если в формулу у = кх — 1 вме­сто к подставить любое рациональное число, то мы всегда получим в пересечении с окружностью две точки: (0; — 1) и какую-то другую рациональную точку.

Как найти точку пересечения прямой у = кх — 1 с окружностью х

² + у² = 1?

Нужно решить систему уравнений

{у = кх — 1; х² + у² = 1.

Подставим значение у из первого уравнения во второе

х² + (кх — I)² = 1

и раскрываем скобки

х² + к²х² — 2 кх + 1 = 1.

Упрощаем:

х² + к²х² = 2 кх.

Можно сократить на ж, так как случай х = 0 нам не интересен — он даст уже знакомую точку (0,-1):

х + к²х = 2 к.

Выразим теперь х и у через к: