Математика для гуманитариев: живые лекции

ж(1 + к²) = 2к; х = 2к/(1 + к²),

Из этих формул видно, что если к — рациональное число, то у их — тоже рациональные. Рациональные числа — это числа, с ко­торыми можно производить действия арифметической природы — плюс, минус, разделить, умножить. Рациональные числа от это­го остаются рациональными (то есть эти действия не выводят нас за пределы множества рациональных чисел).

Что значит «к — рациональное число»? Это значит, что к = Щ-. Подставим вместо к дробь Щ, считая, что т, п — положительны,

fn

причем т п, а дробь — несократима:

т

2

П

Осталось вспомнить, что в исходном уравнении х = а/с и у = Ь/с. Поэтому можно взять в качестве а числитель первой дроби, в ка­честве b — числитель второй дроби и в качестве с — их общий знаменатель. Получится: а = 2тп, Ь = т² — п¹, с = т

² + п². Одно из решений получается сразу, а прочие ему пропорциональны. Мы имеем тот же ответ, что и при первом способе решения. Внешне два метода, которыми мы решали эту задачу, совершенно не свя­заны друг с другом. Координаты и окружность нам показывают, какие множества высекают на плоскости те или иные алгебраиче­ские уравнения. А в первом способе была делимость и основная теорема арифметики. Она, являясь исключительно арифметиче­ским приемом, не имеет никакого отношения к геометрии. Стоит сказать, что если бы математики приходили к разным результа­там, решая одну и ту же задачу разными методами, то математика не была бы наукой. На деле же математика — это одно большое знание, связывающее разные методы между собой одним и тем же ответом.

Как видим, пифагоровы тройки нами разбиты «в пух и прах», но ость одна незадача. При к = 0 получается прямая, параллель­ная оси х (см. рис. 141).

Рис. 141. Совпадение двух точек пересечения.

И вторая точка пересечения оказывается равной первой. Это как раз и отражает эффект касания. Алгебраические геометры, когда говорят о касании, всегда имеют в виду кратный корень, то есть корень, в котором совпали вместе несколько бывших некрат­ных решений.

Есть еще один любопытный момент. Есть еще одна рациональ­ная точка, которую мы не заметили на окружности. Точка (0,1). Это решение появится у нас при к = ос.

Если мы хотим параметризовать окружность с помощью ра­циональных чисел, нужно, чтобы каждому рациональному числу соответствовала одна, и только одна точка на окружности. У нас же получается так, что на окружности есть лишняя точка, которая ни одному рациональному к не соответствует. В таком случае ма­тематики рассматривают не обычную прямую, а проективную. Мы уже сталкивались с проективной геометрией. В задаче на постро­ение с помощью линейки у нас точка пересечения пучка прямых уходила в бесконечность.

Таким образом, методы алгебраической геометрии часто связа­ны с проективной геометрией.

А теперь третий метод решения той же задачи — комплекс­ные числа. Мы разберем его на следующей лекции, а сейчас — обещанное введение в арифметику комплексных чисел.

Очень хочется разложить на множители х²

+ у². Мы умеем рас­кладывать разность квадратов. Попробуем представить нашу сум­му в виде разности:

2,2 2 / 2\ х +у =_х ^{^у ).

Если бы я мог извлечь корень из ^у², то смог бы разложить это выражение следующим путем:

х² + у² = х² — (—у²) = х² — (—1 у²) = (х — V—Iу)(х + V—I у)-

В обычной жизни корень из — 1 не извлекается, но с помощью ком­плексных чисел это возможно. Пока мы исходим из желания полу­чить комплексное число наиболее естественным образом. Мы хо­тим разложить сумму квадратов на множители. Давайте считать, что есть такое число — 1, обозначим его за г.

= *· Тогда

х² + у² = х² — (—у²) = х² — г² у² = (х — уг)(х + yi).

Это критически важно для многих задач. Например, для зада­чи о том, какие простые числа раскладываются в сумму двух квадратов. Число 41 — простое. Оно является суммой двух ква­дратов: 25 + 16; 41 = 5² + 4². Если мы умеем раскладывать та­кую сумму на множители, то у нас получатся любопытные вещи: 41 = (5 + 4г) (5 — 4*). Мы попадем в знакомую ситуацию, связанную с разложением числа 41 на множители, только теперь эти множи­тели — числа новой природы.

Число i — не является вещественным (то есть не лежит на обычной числовой прямой и не может использоваться для изме­рения физических величин) и, если мы нарисуем вещественную ось, оно будет находиться где-то вне нашей оси. Мы можем вы­брать сами, где его поместить. Удобнее всего поместить i на верти­кальной оси, выбрав некоторую плоскость, содержащую обычную вещественную ось (см. рис. 142).

Рис. Ц2. Вот гдо притаилось загадочное число i.