Математика для гуманитариев: живые лекции

Тогда получится, что любое число х + yi «живет на плоскости» в точке с координатами (х.у). Если мы хотим ввести в рассмотре­ние некоторую новую сущность, которая в квадрате дает минус единицу, то нам нужно уметь это число умножать на любые дей­ствительные числа. И такие произведения yi = z никогда не могут быть обычными числами, иначе само i = z/y превращалось бы в обычное число. А мы уже убедились в том, что i имеет «неве­щественную» природу. Кроме того, мы должны уметь выполнять действия сложения и вычитания между обычными (вещественны­ми или действительными) числами и числом i.

Давайте посмотрим. Беру вещественные числа и составляю вы­ражения:

(х + yi); (z + ti).

Вопрос: в каком случае эти два выражения задают одно и то же число? Попробуем действовать по привычным правилам.

х + yi = z + ti, х — z = ti — yi, x — z = i(t — y).

Если t = у, то из последнего равенства имеем х = г.

х — Z

% = .

t^y

х — Z

Этого не может, быть, так как -т вещественное число. А чи-

ело i — НЕ вещественное. Противоречие. Значит, х + yi и z + ti равны тогда и только тогда, когда х =

z и t = у одновремен­но.

Из этого следует, что каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число.

Продолжение в следующей лекции (то есть в лекции 4 части 2).

Лекция 4

А.С.: Сегодня мы будем заниматься комплексными числами. Но для начала интересная зарисовка из теории вероятностей. Если бы нас было человек 30, я бы поставил 5 мороженых к 1, что у дво­их из здесь присутствующих совпадут дни рождения. На самом де­ле граница проходит на числе 23. Если в аудитории 23 человека, то вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения примерно равна 50%. Правда, совпадут только месяц и число рождения, но не обязательно год. Для людей, которые об этом не задумывались, это совершенно удивительный факт. Вроде бы всего 23 человека, как же такое может быть? Но математика открывает этот секрет.

Еще один интересный сюжет: два человека решили встретиться в метро на станции Кропоткинская. Но вышло так, что они не дого­ворились о времени. Известно лишь, что они свободны между 9 и 10 утра. Стратегия у них такая: человек приходит и ждет 15 минут. Если не дождался, уходит. Вопрос: что вероятней, встретиться или разминуться? Чему равна вероятность того, что они встретятся?

«Математическая» теория вероятностей на эту тему говорит следующее. Давайте расположим на плоскости все возможные ис­ходы в этой «игре».

По оси х будем откладывать момент прихода первого, а по у — второго (в минутах после 9 часов). Получившийся квадрат назы­вается фазовым пространством задачи (рис. 143). А вот если пер­вый может появиться в любой момент от 9 до, например, 11 часов, то фазовое пространство будет не квадратом, а прямоугольником. Так как и момент появления первого, и момент появления вто­рого совершенно непредсказуемы в рамках промежутка с 9 до 10, следует представлять себе, что и квадрат (слева), и прямоуголь­ник (справа) покрыты равномерной сетью из большого количества точек.

Теория вероятностей постоянно оперирует с понятием «зависи­мости» и «независимости» нескольких случайных величин. Здра­вый смысл подсказывает, что наши события (то есть приход 1-го и приход 2-го) независимы. Тогда все исходы, т. е. пары (время

прихода первого и время прихода второго) равновероятны. Мы сейчас нарисуем зону, в которой друзья встретились, и посмотрим, какая у нее площадь (для левой части рис. 143).

Если они пришли в один и тот же момент, то из таких точек мы получим диагональ одинаковый момент прихода. Ясно, что они встретятся (и время ожидания будет равно 0).

А если они немножко отклонились от диагонали влево/вправо? Тогда тоже встретятся, потому что один из них пришел немножко раньше другого и дождался второго. Надо понять, на какое са­мое большое число минут им можно отклониться друг от друга по времени прихода, чтобы встреча еще произошла? На 15 минут. На одну четверть часа. Иначе будет как в известной песне*.

Мы получили границы зоны встречи. Что происходит на гра­нице? Первый пришел, например, в 9 часов 50 минут, а второй в 9:35. Тогда второй, который пришел в 9:35. уже собирался ухо­дить. и тут появился первый.

площадь оставшейся части. S = Г² = 1 площадь всего ква­* Договорились мы па завтра: «На том же место, в тот же час!»

Теперь надо посчитать площадь «встречи» (то есть участка ква­драта. описывающего пары моментов прихода, при которых встре­ча произойдет) и поделить ее на общую площадь фазового про­странства. Вычислим сначала площадь оставшейся части для слу­чая квадрата (рис. 144).

Рис. 144· Встреча возможна только внутри шестиугольника (15' = 0.25 часа).

7 1

Число jg чуть-чуть меньше То есть ждут всего 15 минут.

а вероятность встречи близка к 50%.

Упражнение. А какой будет ответ, если фазовое пространство не квадратное, а прямоугольное (рис. 143. справа)?