Математика для гуманитариев: живые лекции

Про теорию вероятностей можно говорить очень долго. Это от­дельная. очень большая, интересная наука и для школьной про­граммы. и для людей, занимающихся другими науками. В теории вероятностей есть свои проблемы. Например, данные про боль­шой город типа Москвы входят в очень резкий контраст с базо­выми предположениями теории вероятностей. Рассмотрим состоя­ние пробок на дорогах. Оно складывается из миллиона случайных решений отдельных людей. Каждый, у кого есть машина, решает, поехать ли на машине или на общественном транспорте, то есть примерно миллион человек одновременно решают задачу, на чем им ехать. И типовое предположение теории вероятностей о том. что выборы людей независимы друг от друга, предсказывает абсолют­но одинаковые пробки при одинаковых метеорологических услови­ях. Если наша теория верна, если решения независимые, то долж­ны быть идентичные дорожные ситуации при одинаковых услови­ях. Аварии учесть трудно. Но одна, две мелких аварии не сильно

влияют на трафик. Математики очень мало знают про транспорт. Но самое главное — есть стойкое ощущение, что эта модель невер­на. Люди друг с другом каким-то образом связаны. Они реагируют на фазы Луны, пятна на Солнце или на что-то еще и принимают одинаковые решения. (Например, если их просят назвать извест­ного русского поэта, все как один говорят: Пушкин.) Это — един­ственное объяснение, почему при абсолютно идентичных условиях бывают диаметрально противоположные по структуре пробки. Се­годня город едет, а завтра — стоит.

Надо признать, что нам не всё известно. Я, на самом деле, счи­таю, что про социальные науки (социологию, политологию, эконо­мику) нам вообще почти ничего неизвестно. Математики врут, ко­гда говорят, что они разобрались в том, как функционирует соци­ум. Модели примитивные, никогда ничего не предсказывают. Ино­гда объясняют то, что было вчера.

С географией дела обстоят лучше. Расселение меняется медлен­но. Редко бывает так: с утра не с той ноги встал и с досады ока­зался не в Москве, а в Иркутске31. Эталоном науки должна быть физика — наука о неживой природе. Она разработана до такой степени, которая никаким инопланетянам, наверное, не снилась. И если с физикой сравнивать науки о социуме, то математиче­ский блок социальных наук практически не развит. Поэтому вся­ким «гуру», которые появляются на «Полит.ру», в «Ведомостях» или прочих изданиях, вообще верить нельзя (в том числе и мне са­мому!). Они делают прогнозы, а через неделю уже всё по-другому. Я вижу, о каких моделях они говорят, и понимаю, что там обман в каждом слове. А в математике, в лингвистике, в других не соци­альных науках нет места подвоху.

* * *

Вернемся к комплексным числам. Я хотел рассказать о том, как чудесным образом с помощью комплексных чисел решаются неко­торые уравнения. На прошлой лекции мы решили, что хотим иметь такое невещественное число г, что г¹ = — 1. И каждой точке плос­кости сопоставили некоторое комплексное число: (ж,

у) —ж + уг. Оказывается, эти числа подчиняются привычным математическим действиям: плюс, минус, умножить, разделить. Математики до­вольно большую часть времени живут в системах, которые на­зываются полями. Поле — это такое обобщение обычных чисел. Это такие системы «чисел», в которых можно совершать операции плюс, минус, умножить и разделить по нормальным обычным правилам. То есть вы пишете какое-то алгебраическое выражение, раскрываете скобки, делите, сокращаете. Всё, что можно сделать с обычными действительными числами, можно сделать и с элемен­тами любого поля. А поля бывают очень разные и иногда совер­шенно неожиданно выглядят32.

Мы хотим, чтобы множество комплексных чисел стало полем, то есть чтобы в нём можно было делать всё, что мы привыкли де­лать с действительными числами, в частности, умножать и делить. И об этом мы сейчас поговорим.

Было доказано, что х + уг = z +

U только в том случае, если имеют место равенства х = z и у = t.

То есть если это просто одна и та же точка на плоскости. А раз­ные точки дают разные комплексные числа, поэтому комплекс­ные числа занимают как минимум всю плоскость. А из стремле­ния к минимализму мы постараемся ограничиться только точка­ми плоскости. Давайте учиться складывать, вычитать, умножать и делить точки плоскости.

Чему будет равна сумма (ж + уг) +

{z + Ы)?

Мы должны получить какое-то комплексное число. Значит, у нас будет часть с г и часть без г. Если отложить часть «без г» по оси абсцисс, а часть «с г» — по оси ординат, то у нас по­лучится какая-то точка на плоскости. Часто комплексное число отождествляют с вектором (т. е. стрелочкой), ведущим из начала координат в эту точку. Из правила сложения векторов получается, что (ж + уг) + (z + ti) = (ж + z) + г{у + t).

Рис. 145. Сложение комплексных чисел.

Точки (х, у) и (г, t) задают нам два вектора на плоскости, выхо­дящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z,y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.