Математика для гуманитариев: живые лекции

Некоторые соображения о преподавании математики в школе.

У каждого человека есть некие безумные идеи, в которые он свято верит. Я свято верю в то, что школьная математика должна быть устроена следующим образом.

Преподавание математики начинается с движений, причем сразу же вводится понятие группы движений — сперва прямой и окружности, затем плоскости. Давайте без обиняков это назы­вать своими именами — группа движений изучаемого объекта. Потом следует полная характеризация этих групп движений че­рез то, сколько у тех или иных движений имеется неподвижных точек.

Есть такая теорема «о трех гвоздях». Если три точки плоско­сти остаются неподвижными при движении, то движение является тождественным преобразованием, то есть оно вообще ничего не ме­няет. Для прямой и для окружности имеются очевидные аналоги этой теоремы, которые еще проще.

Завершим вкратце классификацию движений плоскости. Если у движения имеются две различные неподвижные точки, то непо­движной окажется и вся прямая, их соединяющая, а само пре­образование будет являться отражением относительно этой прямой. Если у движения ровно одна неподвижная точка, то это движение является

поворотом. Если неподвижных точек нет, мы получаем два вида движения: параллельный перенос и сколь­зящая симметрия. Больше никаких движений плоскости нет.

Это — теорема Шаля, которая должна входить во все школь­ные программы. После того, как это прошли, нужно приступать к комплексным числам. Надо сразу сказать, что плоскость — это комплексные числа, образующие поле. Все основные алгебраи­ческие понятия должны быть введены прямо в детском саду, чтобы потом в школе уже было можно браться за дело34.

После изучения комплексных чисел выводятся правила умно­жения и сразу — переход к тригонометрии. Тригонометрия — это просто операции с комплексными числами, лежащими на окруж­ности.

А дальше можно переходить к более интересным вещам, напри­мер, к диофантовым уравнениям.

Обсудим, при чем тут комплексные числа (которых Диофант не знал) и диофантовы уравнения? На вещественной оси есть числа специальной природы, называемые целыми. Они «живут» на одинаковом расстоянии в обе стороны от 0 до бесконечности. Это числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4 и так далее. Между ними «живут» вся­кие другие числа, которые нас пока сейчас интересовать не будут (рис. 153). Диофантовы уравнения это уравнения, которые на­до решать в рациональных либо в целых числах. Мы ограничимся целыми решениями. На прошлой лекции мы рассматривали сле­дующее уравнение

2 , 2 2 X + у = Z .

Мы его решили двумя способами: с помощью анализа делимости в обычных целых числах и с помощью алгебраической геометрии. Есть еще и третий способ.

Рис. 153. Рошотка целых чисел на числовой оси (такого рода решетки бывают и на плоскости).

Подобно тому, как среди вещественных чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замеча­тельные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множе­стве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда нет. Анализ того, что на что делится, приводит к со­держательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х² + у² = z²

.

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что- нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что па плоскости имеется огромное количество числовых систем, ко­торые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важ­ны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое про­стое это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154- Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[t\. Z — значит «целое», [*] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.