Математика и искусство

Преимущества гармонизации с помощью ряда предпочтительных чисел (геометрической прогрессии) перед обычным рядом чисел (арифметической прогрессией) очевидны из простого примера. Если стороны прямоугольника а и b увеличивать в геометрической прогрессии (а_n = aqⁿ, b_n = bqⁿ), то пропорции прямоугольника будут сохраняться: более того, Арифметическая прогрессия (a_n = a + nq, b = a + nq) не сохраняет пропорции прямоугольника: , причем т. е. форма прямоугольника будет приближаться к квадрату. Свойство геометрической прогрессии сохранять пропорции ее членов было использовано еще в 1805 г. во Франции для упорядочения типографских шрифтов.

Изменение сторон прямоугольника с помощью геометрической прогрессии сохраняет его пропорции (а), а с помощью арифметической прогрессии искажает их (б)

Отметим еще одну геометрическую прогрессию, имеющую непосредственное отношение к этой книге. Сегодня во многих странах, в том числе и в нашей, применяется стандарт, введенный в начале века немецким ученым Портсманом. Портсман выбрал отношение сторон прямоугольного листа бумаги а:b из условия, чтобы при складывании (фальцовке) эта пропорция сохранялась, т. е. a:b = b:a/2 (см. рис.). Решая это элементарное уравнение, находим: а:b = √2. В качестве исходного формата был выбран лист площадью 1 м² со сторонами 1189X841 мм (√:1), а затем найдены и его доли: 1/2 м² = 841Х594 мм; 1/4 м² = 594Х Х420 мм; 1/8 м² = 420Х297 мм; 1/16 м² = 297X210 мм — лист для пишущей машинки; 1/32 м² = 210X148 мм; 1/64 м² = 148X105 мм — формат почтовой открытки. Так был построен основной ряд форматов бумаги RA. Существуют также и производные от этого ряда.

Построение основного формата бумаги RA с помощью геометрической прогрессии (q = √2), сохраняющей пропорции прямоугольного листа при фальцовке

Как видим, математические вопросы гармонизации частей и целого увели нас далеко и от музыки, и от архитектуры. Как тут не вспомнить высказывание английского естествоиспытателя, соратника Чарльза Дарвина — Томаса Гексли (1825-1895) о том, что математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают. Однако если вдуматься, то все это имеет самое прямое отношение к нашей теме, ибо как на стандартном листе бумаги можно написать все что угодно, так и с помощью гармонизированной шкалы звуков (музыкальная гамма) или шкалы пропорций (модулор Ле Корбюзье) можно создать бессмертное произведение, а можно и...

Но вернемся к архитектуре и музыке. Музыка развивается во времени, она не стоит на месте, подвижна, она меняется каждое мгновение. Но если прозвучавшую музыку целиком охватить в памяти, то в нашем сознании станут проступать закономерности ее архитектурного строения: симметрия, пропорциональность, соразмерность частей и целого — гармония, ритм и т. д.

Именно законы общего построения музыки, которые выявляются памятью только в отзвучавшей мелодии, своеобразный глобальный ритм музыки и роднят ее с архитектурой. Именно "отзвучавшую музыку", ее глобальный ритм, ее архитектуру мы изучали в главе 12, когда рассматривали целиком всю хроматическую фантазию и всю фугу ре минор Баха и находили в их строении, в больших и малых формах пропорции золотого сечения, законы симметрии (см. с. 164).

С другой стороны, локальный ритм музыки, звучащие сию минуту музыкальные фразы сближают музыку с поэзией. И как связь музыкального произведения с поэтическим словом или сценическим действием делает образное содержание произведения более богатым и многогранным, так и связь произведения архитектуры с пластикой скульптуры и живописи (росписи стен, мозаики, барельефы, скульптурные группы) — синтез искусств — позволяет достигнуть многостороннего эмоционального воздействия, небывалого по силе и полноте чувств.

Архитектура во времени неизменна. Но подвижен человек, и, перемещаясь, он воспринимает архитектуру динамично. Меняя свое положение в архитектурной среде, глядя на памятник архитектуры с разных точек зрения, человек по-разному воспринимает его пластические формы; они оживают, и "застывшая музыка" начинает издавать волшебные звуки. "Искусство архитектуры заключается в том, чтобы заставить звучать опоры",- говорил французский архитектор О. Перре. Мысль эта отнюдь не парадоксальна: опора, несущая тяжесть, была и остается главной темой архитектурной симфонии, как вечен сам закон тяготения.

Но архитектура динамична даже тогда, когда воспринимающий ее человек неподвижен. Меняется положение солнца, и изменяется светотеневая пластика архитектурных форм. Днем и ночью, в предрассветном тумане и в лучах заходящего солнца, укутанные мягким снегом и омытые грозовыми дождями памятники зодчества поют неповторимые чарующие песнопения.