Математика и искусство

Особенно ценно, что к тому же выводу о необходимости существования в основе архитектуры и музыки "объединяющего принципа формы" приходят не только представители естественных наук (что вполне естественно), но и служители мира искусств. Вот слова архитектора, академика Щусева: "Наряду с меняющимися формами природы и жизни есть и нечто вечное, а именно — закон красоты и гармонии, который проявляется одинаково в жизни природы и человека. Именно этот закон дает возможность построить теорию пропорций и пластических форм, а в музыке — теорию соотношения звуковых ладов". А вот мнение музыковеда, профессора Мазеля: "Без высотной (ладовой) организации музыки невозможно выработать некоторый "музыкальный язык", понятный широкому кругу людей. Без какой-либо ладовой системы, существующей во внутреннем слухе поющих, напев не мог бы запомниться и передаваться".

Но что же является этим загадочным "объединяющим принципом формы", который должен лежать в основе архитектуры и музыки? Как нам кажется, именно математика стала тем фундаментом, тем "законом красоты и гармонии", на котором строятся абстрактные формы архитектуры и музыки.

Поясним эту мысль на знакомых нам примерах. В главе 11 мы задавались вопросом: почему из 4000 звуков, хорошо различимых человеком, в музыке используются лишь около 90? Да только потому, что в основу музыки положена строгая математическая организация звуков. Только организовав звуки в октавы, только упорядочив их внутри каждой октавы, человек смог навести в мире звуков порядок, который стал "радовать глаз и разум" (в нашем случае — "слух и разум"). Только после построения гаммы стало возможным выработать "музыкальный язык" и передавать "музыкальные мысли" — мелодии на этом языке. Таким образом, музыкальная гамма — это основа музыкального языка, заложенная по законам математики. Ну а что сказать на этом языке, зависит от таланта, вкуса, душевного богатства композитора.

Что представляет собой гамма внутри октавы, каково ее математическое строение? Этим вопросом мы занимались практически на протяжении всей второй части. В главе 9 мы показали, что равномерно-темперированная гамма — основа сегодняшней музыки — есть не что иное, как геометрическая прогрессия со знаменателем Но ведь именно в геометрической прогрессии достигается соразмерность частей и целого, именуемая гармонией. Таким образом, гамма в пределах октавы также есть упорядоченная по законам математики последовательность звуков, которая в силу октавного подобия звуков является основой основ музыки. Не случайно Пифагор придавал огромное значение построению именно этой части музыкальной шкалы (см. эпиграф к гл. 6).

То же самое мы наблюдаем и в архитектуре. Из бесконечного многообразия соотношений между частями и целым в архитектурных шедеврах непременно заложена какая-то математическая закономерность, позволяющая отобрать и упорядочить эти отношения. В основе построения архитектурной формы лежит некоторый математический закон — закон пропорционального строения этой формы. В качестве такого закона в силу особых математических свойств (см. гл. 15) часто выступает геометрическая прогрессия — ряд золотого сечения или его производная — модулор Ле Корбюзье, а также функция золотого сечения или парные меры 1:√2 или 1:√5 Эти математические закономерности гармонизируют размеры сооружения, определяют его соразмерную структуру. Разумеется, как в музыке, так и в архитектуре пропорциональная шкала — это только "эстетический фундамент" архитектурного произведения, который никак не сдерживает творческой фантазии автора.

Заметим, что проблема гармонизации частей и целого давно уже перестала быть прерогативой лишь музыки или архитектуры. Повышение эстетических качеств промышленных изделий, придание им красивой формы и одновременно их стандартизация — одна из важнейших задач технической эстетики. Естественно, что решается эта задача на базе того же математического аппарата.

Чтобы связать части целого единым пропорциональным отношением, строятся так называемые ряды предпочтительных чисел (R), которые являются не чем иным, как геометрическими прогрессиями. В качестве знаменателей таких прогрессий выбирают степени числа 10. При этом сами степени в свою очередь образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1/2: 1/5, 1/10, 1/20, 1/40. Так получаются инвариантные гармонические ряды:

что каждый предыдущий ряд "вложен" во все последующие. Кроме того, поскольку 10^3/10 = 10^6/20 = 10^12/40 = 1,9951≈2, то в ряду R10 происходит удвоение чисел через каждые 3 члена, в ряду R20 — через 6 членов, а в ряду R40 — через 12 членов. Исходя из этого свойства значения предпочтительных чисел " округляются.

Отметим одну любопытную деталь. Так как то с достаточной степенью точности можно сказать, что ряд R40 лежит в основе равномерно-темперированного строя: