Остановись и подумай: Идеи и стратегии, помогающие принимать верные решения

Что ж, как видно из рис. 4.1, вероятность выиграть $2 (т. е. вероятность выпадения орла) равна 50 %. Это значит, что математическое ожидание выпадения орла рассчитывается следующим образом: вероятность выпадения орла × ваш выигрыш от этого исхода, т. е. ¹/₂ × $2 = $1. В 50 % других исходов вы проиграете $1, т. е. математическое ожидание выпадения решки равно ¹/₂ × (–$1) = –¢50. Общее математическое ожидание от каждого броска равняется сумме обоих этих исходов: $1 – ¢50 = ¢50. Это больше, чем цена одного броска. Если бы вы долго играли, то могли бы ожидать выигрыш ¢25 после каждого броска, и через несколько сотен повторений сумма выигрыша увеличилась бы значительно!

А теперь допустим, что я вас обманываю. Я взял у фокусника специальную монетку, которая при подбрасывании в ¹/₄ случаев дает орла, а в

³/₄ – решку. Стоит ли вам играть в игру на таких условиях?

Рис. 4.1. Математическое ожидание игры в подбрасывание монетки

Проведем аналогичный расчет. Теперь вы будете выигрывать $2 только в ¹/₄

случаев, значит, математическое ожидание этого результата равно $2 × ¹/₄ = ¢50. В трех случаях из четырех вы проиграете $1, так что ³/₄ × (–$1) = –¢75. Теперь суммарное математическое ожидание будет равняться –¢25, а это значит, что вы будете терять ¢25 после каждого броска (а ведь еще нужно и за бросок ¢25 заплатить). Знание о математическом ожидании только что спасло вас от неизбежного проигрыша в этом лохотроне!

Но даже игра с фальшивой монетой может стать достаточно прибыльной, если при выпадении орла вы будете получать большую сумму денег. Допустим, за орла дают не $2, а $100. Вы наверняка с радостью согласитесь сыграть на этих условиях, потому что в случае победы выиграете гораздо больше, чем проиграете в случае поражения.

Математическое ожидание поможет решить, стоит ли покупать лотерейный билет (если шанс выиграть $500 000 один на миллион, то не стоит), и определиться с тем, как лучше построить карьеру (устроиться на работу в мамину фирму или попытаться воплотить в жизнь свою мечту и стать знаменитым комиком?). Полезно рассчитывать и негативные математические ожидания (т. е. ожидаемые потери). Если вероятность, что вам выпишут штраф $50 за неоплату парковки, равна 1 %, то вы можете рискнуть (ожидаемая потеря ¢50), но если при прыжке в воду со скалы вероятность умереть составляет 1 %, тогда лучше не прыгать (шанс потерять все равен всего лишь 1 %, но в случае его выпадения вы теряете вообще все).

Математическое ожидание связано со многими концепциями из других областей жизни:

1. Серьезность и частота в сфере страхования. Это размер компенсации за ущерб (серьезность – например, цена ремонта автомобиля), умноженный на вероятность возникновения инцидента (частота – вероятность попасть в серьезное ДТП).

2. Фанаты бейсбола непременно увидят аналогии с процентом сильных ударов. Он описывает вероятность пройти до следующей базы (показатель отбивания), которая оценивается по тому, сколько баз проходит игрок, когда ему все-таки удается отбить мяч.

3. Любители финансов будут рады услышать, что математическое ожидание – неотъемлемая часть любой методики ценообразования опционов, в том числе и модели Блэка – Шоулза.

4. Шансы банка из покера – это тоже пример расчета математического ожидания. Согласно этой концепции, решение продолжить игру в данном раунде зависит от вероятности вашего выигрыша и от величины банка по отношению к минимальной ставке. Например, если вы оцениваете свои шансы выиграть текущий раунд в 10 %, но финальная ставка составляет лишь 5 % от общего банка, тогда лучше согласиться на ставку: математическое ожидание положительно.

В большинстве случаев знания серьезности события или частоты его возникновения недостаточно, но, если известны оба фактора, они станут хорошей базой для принятия решения. Повторюсь, математическое ожидание – важная концепция, поскольку учитывает и вероятность возникновения различных последствий, и значимость

этих последствий. Играйте в игры (и используйте возможности), которые предлагают вам высокую вероятность хорошего исхода или низкую вероятность великолепного исхода. И, напротив, избегайте всего, что имеет высокую вероятность плохого исхода и низкую вероятность ужасного исхода.

Упражнения

1. Каково математическое ожидание от лотерейного билета, который с вероятностью один на миллион принесет вам выигрыш $500 000, если билет стоит $1?

2. Вы можете купить машину или взять ее в аренду. Стоимость покупки – $50 000. Стоимость аренды – $20 000 за три года, после чего можно выкупить машину за $35 000. Допустим, вероятность того, что вам захочется купить машину после аренды, составляет 50 %. Какова ожидаемая цена аренды машины относительно цены ее покупки?