Читаем Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями полностью

Отсюда получаем nNn + 1 и, значит, или n = N, или же n = N − 1. Подставляя эти значения n в формулу для среднего числа человеко-дней, мы получаем N²·(1 − 1/N)N и (N − 1)·N·(1 − 1/N)N − 1 т. е. равные величины. Так как N-й человек не изменяет положения дел, на фабрике должно быть N − 1 рабочих. В силу соотношения (1 − 1/N)Ne−1 среднее число трудодней приблизительно равно N²·e−1. Если бы все N человек работали каждый день, то число трудодней равнялось бы

N², так что e−1 равняется среднему отношению числа действительно проработанных дней к потенциально возможному N². Оно приблизительно равно 0.37. Итак, на фабрике работает 364 человека, и число рабочих дней приблизительно равно 49 (если считать, что других выходных нет). 364-й рабочий вкладывает в среднем только 0.37 дня в общее число трудодней. Рабочая сила должна быть очень дешева в этом городе!

35. Решение задачи «На краю утеса»

Перед решением задачи полезно задуматься о возможном ответе. Посмотрим, что может случиться на нескольких первых шагах. Приведенная схема иллюстрирует тот факт, что человек может упасть вниз только через нечетное число шагов. После одного шага вероятность упасть вниз равна 1/3 (рис. 6). Путь 1 → 2 → 1 → 0 добавляет еще 2/27 к вероятности падения, давая общую вероятность несчастья 11/27. После пяти шагов пути 1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0 и 1 → 2 → 3 → 2 → 1 → 0 вместе добавляют 8/243 к вероятности падения, давая общий результат 107/243. Этот список можно продолжить, но мы обратимся теперь к иному подходу.

Рис. 6. Схема блуждания пьяницы, показывающая вероятность нахождения на различных расстояниях от края пропасти.

Настоящая задача о блуждании весьма популярна и имеет много формулировок. Далее мы будем трактовать ее как задачу о частице, движущейся по оси.

Рассмотрим частицу, которая сначала находится в положении x = 1 на оси. Структура задачи будет яснее, если вероятность шага направо вместо 2/3 будет равна p. Частица движется из положения 1 либо в точку x = 2 с вероятностью p, либо в точку x = 0 с вероятностью 1 − p (рис. 7). Вообще, если частица находится в положении x = n, n > 0, n — целое число, то она сдвигается либо в точку x = n + 1 с вероятностью p, либо в точку x = n − 1 с вероятностью 1 − p. Если частица попадает в положение x = 0, то там она поглощается (не делает других шагов). Нас интересует значение вероятности P

₁ того, что частица поглощается в точке x = 0, если она выходит из точки x = 1. Разумеется, значение P₁ зависит от p. Кажется естественным, что если p близко к 1, то вероятность P₁ мала, а если p близко к нулю, то P₁ мало отличается от 1.

Рис. 7.

Рассмотрим ситуацию после первого шага: либо частица сдвинулась налево, попала в точку x = 0 и поглотилась там (это событие имеет вероятность 1 − p), либо сдвинулась направо в точку x = 2 (это событие происходит с вероятностью p). Пусть P₂ обозначает вероятность того, что частица поглощается в начале координат x = 0, если она выходит из точки x = 2. Тогда мы имеем

P₁ = 1 − p + p·P₂, (1)

так как 1 − p есть вероятность поглощения на первом шаге и p·P₂ — вероятность поглощения на последующих шагах.

Каждый путь, ведущий к поглощению из x = 2, можно разбить на две части:

(1) Путь, идущий из точки x = 2 и достигающий положения

x = 1 в первый раз (не обязательно за один шаг) и

(2) Путь, идущий из точки x = 1 в точку x = 0 (также не обязательно за один шаг). Вероятность пути из положения x = 2 в x = 1 есть P₁ поскольку структура блуждания здесь идентична структуре первоначального блуждания (см. рис. 35.1), за исключением того, что начало координат переносится на один шаг направо. Вероятность попасть из точки x = 1 в x = 0 также равна P₁ как и в исходной задаче. Величина P₂ поэтому есть P₁², так как события A (частица идет по пути от точки x = 2 к x = 1) и B (частица движется по пути от точки x = 1 до x = 0) независимы, и P(A) = P(B) = P₁.

Мы можем переписать уравнение (1) как

P₁ = 1 − p + p

·P₁², (2)

Уравнение (2) — квадратное относительно P₁ и имеет два решения:

P₁ = 1; P₁ = (1 − p)/p. (3)

В таких задачах одно или оба решения могут быть подходящими, в зависимости от значений p.

Если p = 1/2, то оба решения совпадают, и P₁ = 1. Когда p = 1, P₁ = 0, так как частица всегда движется вправо. И когда p = 0, очевидно, P₁ = 1. При p < 1/2 второе решение (3) не подходит, так как тогда (1 − p)/p > 1, а по смыслу задачи P₁ ≤ 1. Поэтому при 0 ≤ p ≤ 1/2 мы имеем P₁ = 1.

Чтобы доказать, что второе решение P₁ = (1 − p)/p имеет место при p > 1/2, нам достаточно установить, что P₁ является непрерывной функцией от p (грубо говоря, что P₁ не слишком изменяется, когда p меняется мало). Мы предполагаем эту непрерывность, но не доказываем ее.

Перейти на страницу:

Похожие книги

Простая одержимость
Простая одержимость

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

Джон Дербишир

Математика
Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу
Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу

Книга посвящена проблемам загрязнения окружающей среды при авариях промышленных предприятий и объектов разного профиля и имеет, в основном, обзорный справочный характер.Изучается динамика аварийных турбулентных выбросов при наличии атмосферной диффузии, характер расширения турбулентных струйных потоков, их сопротивление в сносящем ветре, эволюция выбросов в реальной атмосфере при наличии инверсионных задерживающих слоев.Классифицируются и анализируются возможные аварии с выбросами в атмосферу загрязняющих и токсичных веществ в газообразной, жидкой или твердой фазах, приводятся факторы аварийных рисков.Рассмотрены аварии, связанные с выбросами токсикантов в атмосферу, описаны математические модели аварийных выбросов. Показано, что все многообразие антропогенных источников загрязнения атмосферного воздуха при авариях условно может быть разбито на отдельные классы по типу возникших выбросов и характеру движения их вещества. В качестве источников загрязнений рассмотрены пожары, взрывы и токсичные выбросы. Эти источники в зависимости от специфики подачи рабочего тела в окружающее пространство формируют атмосферные выбросы в виде выпадающих на поверхность земли твердых или жидких частиц, струй, терминов и клубов, разлитий, испарительных объемов и тепловых колонок. Рассмотрены экологические опасности выбросов при авариях и в быту.Книга содержит большой иллюстративный материал в виде таблиц, графиков, рисунков и фотографий, который помогает читателю разобраться в обсуждаемых вопросах. Она адресована широкому кругу людей, чей род деятельности связан преимущественно с природоохранной тематикой: инженерам, научным работникам, учащимся и всем тем, кто интересуется экологической и природозащитной тематикой.

Вадим Иванович Романов

Математика / Экология / Прочая справочная литература / Образование и наука / Словари и Энциклопедии