Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

(б). Пусть середина хорды равномерно распределена во внутренности круга. Из чертежа (рис. 4) видно, что хорда длиннее радиуса, когда середина хорды находится на расстоянии, меньшем d, от центра. Таким образом, все точки круга радиуса d, концентрического с исходным кругом, являются геометрическим местом точек середины хорд. Площадь этого круга, деленная на площадь исходного, равна

Эта вероятность равна квадрату выражения, полученного в случае (а).

Рис. 4.

(в). Допустим, что хорда определяется двумя точками на окружности исходного круга. Пусть первая точка попала в A (рис. 4). Для того чтобы хорда была короче радиуса, вторая точка должна попасть на дугу BAC, длина которой есть 1/3 длины окружности. Следовательно, вероятность того, что хорда длиннее радиуса, равна 1 − 1/3 = 2/3.

26. Решение задачи о нетерпеливых дуэлянтах

Рис. 5.

Пусть x и y обозначают время прибытия 1-го и 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа, начиная с 5 часов. Заштрихованная площадь квадрата (рис. 5) отвечает случаю, когда дуэлянты встречаются. Вероятность того, что они не встретятся, равна (11/12)², так что шансы на поединок равны 23/144 ≈ 1/6.

27. Решение задачи об осторожном фальшивомонетчике

(а) 

(б). Пусть имеется n ящиков, каждый из которых содержит n монет. Тогда вероятность того, что извлеченная наудачу монета доброкачественна, равна 1 − 1/n, и так как всего имеется n ящиков, то

Вычислим эту вероятность для некоторых значений n.

n	1	2	3	4	5	10	20	100	1000	∞
P(не обнаружить фальшивых монет)	0	0.250	0.296	0.316	0.328	0.349	0.358	0.366	0.3677	0.367879...=1/e

Бросаются в глаза следующие два обстоятельства. Во-первых, выписанные в таблице числа с ростом n возрастают. Во-вторых, они стремятся к некоторому значению, которое известно математикам и равно e⁻¹ или 1/e, где e = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона для , получим следующее выражение:

или

          (1)

Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к −1/3!, так как

          (2)

При n

, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к

Таким образом, с ростом r выражение стремится к сумме ряда

который является одним из способов вычисления e⁻¹.

Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная , сходилась бы при больших n к e⁻² и, точно так же, стремится к e^−m. Вообще стремится к e^m при любом (целом или нет) значении m. Эти факты будут использованы в дальнейшем. Более строгое их обоснование можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению.

28. Решение задачи о жадном фальшивомонетчике

Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью m/n фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.

Исследуем поведение этой вероятности при возрастании n и фиксированных r и m.

Для этого запишем ее в виде

С ростом n 1/r! и m^r не меняются, а

n·(n

− 1)· ... ·(n − r + 1)/n^r стремится к 1, как указано в задаче 27, стремится к e^−m и стремится к 1 (так как m и r фиксированы). Поэтому при больших n

Сумма этих вероятностей равна:

Ряд, записанный в скобках, является разложением e^m.

Распределение Пуассона

Распределение, задаваемое вероятностями

называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.

29. Решение задачи о заплесневевшем желатине

Разобьем поверхность пластинки на n малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна p, а их среднее число есть np = 3. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда n растет, p становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее m = np. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно r колоний на n маленьких площадках равна

где p = m/n

. Заменим p на m/n в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 28. Пусть n → ∞. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона

При m = 3 и r = 3 получаем значение 0.224.

То, что m действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно:

Чтобы получить численные результаты для больших значений m, где r = m, можно использовать таблицы[10] или формулу Стирлинга. Последняя дает

Численные примеры:

m	P(m)	0,4√m
4	0.1954	0.200
9	0.1318	0.133
16	0.0992	0.100