Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

30. Решение задачи о расчете булочника

Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.

Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.

Вероятность продать ровно r кексов есть e⁻²⁰·20^r/r!, как известно из задачи 28. Заменив 20 на m, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть ∑e^−m·m^r/r! или

          (A)

Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что

          (B)

Сумма выражений (A) и (B) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями m войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями — с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок (1 + e^−2m)/2. При m = 20 этот результат весьма близок к 0.5, так как число e

⁻⁴⁰ мало́. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0.568.

31. Решение задачи о парных днях рождения

В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.

Решим несколько более общую задачу. Пусть N обозначает число равновероятных дней, r — число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.

Для первого человека имеется N возможных дней, для второго — (N − 1), не совпадающих с днем рождения первого, для третьего — (N − 2), отличных от дней рождения первых двух и т. д., для r-го человека существует N − r + 1 возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно

N·(N − 1)·...·(N − r + 1)          (r сомножителей).          (1)

Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно N возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения r людей равно

N^r.          (2)

Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2). Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна

P_r = 1 − N

·(N − 1)·...·(N − r + 1)/N^r.          (3)

Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях N таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде N! / (N − 2)!·N^r. Имеем

lg(365!) = 778.399975,	lg(365) = 2.56229286
r = 20,	lg(345!) = 727.38410,
r = 21,	lg(344!) = 724.84628,
r = 22,	lg(343!) = 722.30972,
r = 23,	lg(342!) = 719.77442,
r = 24,	lg(341!) = 717,24040,
r = 25,	lg(340!) = 714.70764.

Небольшая работа с таблицами показывает, что при r = 23 вероятность по крайней мере одного совпадения дня рождений равна 0.5073, а при r = 22 эта вероятность равна 0.4757. Таким образом, r = 23 — наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало́, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:

Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений R:

R	5	10	20	23	30	40	60
PR	0.027	0.117	0.411	0.507	0.706	0.891	0.994

Во-вторых, вспомним, что

Если x достаточно мало́, то члены порядка, большего, чем x, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и e^−x приближенно равно 1 − x, или 1 − x можно при малых x заменить на e^−x. Заметим, что

является произведением множителей вида (N − k)/N, где k много меньше N. Эти множители могут быть записаны в виде 1 − k/N, где 0 ≤ k ≤ r. Поэтому

Для исследования этой асимптотической формулы положим r = 23 и получим что-то около 0.500 вместо 0.507, или, положив r·(r − 1)/2·365 равным −lg(0.5) ≈ 0.693, найдем отсюда r.

В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря). Решение такой задачи предоставляется читателю.