Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

32. Решение задачи «В поисках парных дней рождения»

Автор считает, что большинство людей имеет в виду именно эту задачу, когда им предлагают задачу 31 о парных днях рождения. Мысль о дне рождения, совпадающем с вашим, и вызывает удивление при ответе r = 23 в задаче о парных днях рождения. В настоящих условиях вам совсем не важно, совпадают ли дни рождения других людей, если только они не совпадают с вашим. Чаще всего считают, что ответ в этой задаче равен половине от 365 или 183. Из-за смешения двух проблем ответ r = 23 кажется тогда неправдоподобно маленьким.

Но и в настоящей задаче интуитивный ответ 183 оказывается неправильным. Дело в том, что выборка дней рождения производится с возвращением. Если первый из опрошенных родился 4-го июля, то ничто не мешает и последующим иметь тот же день рождения. Вероятность того, что опрошенный человек родился не в один день с вами, равна (N − 1)/N, где N = 365 — число дней в году. При опросе n людей вероятность того, что все они произошли на свет не в ваш день рождения, равна [(N − 1)/N]ⁿ, и вероятность того, что хотя бы у одного день рождения тот же самый, что и ваш, равна

          (4)

Нас интересует наименьшее значение n, для которого P_n не меньше 1/2. Логарифм 364 равен 2.56110, а 1/2 равен −0.30103.

Если мы перейдем к логарифмам, то обнаружим, что искомое значение n равно 253, что довольно значительно отличается от 183.

Можно поступить и иначе, использовав опять аппроксимацию

Тогда

и

Логарифмируя, получаем n/N ≈ 0.693, n ≈ 0.693N. Для N = 365 получаем n = 253.

Эта задача легче предыдущей, и обсуждение связи между их ответами представляется поучительным.

33. Решение задачи о соотношении между разными задачами о парных днях рождения

По существу, вопрос состоит в определении числа возможных случаев в задаче о парных днях рождения. В задаче об индивидуальном дне рождения для n людей имеется n возможностей встретить человека, день рождения которого такой же, как у вас. В задаче о парных днях рождения каждый человек сравнивает свой день рождения с r

− 1 днями рождения остальных людей. Число пар равно, таким образом, r·(r − 1)/2, что и является числом возможных случаев. Для того чтобы вероятности в двух задачах приблизительно равнялись, должно выполняться соотношение

          (1)

Например, при r = 23 число n должно равняться 23·22/2 = 253, что согласуется с полученным ранее.

Мы уже видели, что при n значительно меньшем по сравнению с N, вероятность того, что ни один из n людей не родился с вами в один и тот же день, приближенно равна e⁻ⁿ/N. С другой стороны, в задаче о парных днях рождения было показано, что для значений r, малых по сравнению с N, вероятность отсутствия парных дней рождения приблизительно равна

e^−r·(r − 1)/2N. Для равенства этих двух вероятностей должно иметь место соотношение (1). Полученная аппроксимационная формула поясняет связь этих двух задач. Из сказанного ранее следует, что r·(r − 1)/2 имеет смысл числа возможных случаев, что также дает основание для сопоставления n и r·(r − 1)/2.

34. Решение задачи о выходных днях и днях рождения

Если на фабрике работает один человек, то предприниматель получает 364 человеко-дней, если два, то почти всегда 2·363 = 726, так что можно думать, что максимум достигается при числе рабочих, большем двух. С другой стороны, при весьма большом числе рабочих практически каждый день является выходным, и завод никогда не работает. Следовательно, действительно существует конечное число рабочих, на котором достигается максимум.

Найдем среднее число рабочих дней. Каждый день является либо рабочим либо нет. Заменим для общности 365 на N и обозначим через n число рабочих на фабрике. Тогда вероятность того, что первый день в году — рабочий, равна (1 − 1/N

)ⁿ, так как в этом случае все рабочие родились в один из других N − 1 дней. Средний вклад первого дня в трудоднях равен

Это число одинаково для всех дней, так что среднее число человеко-дней, отработанных в году, при n рабочих на фабрике равно n·N·(1 − l/N)ⁿ. Для максимизации этой функции от n надо найти значение n, для которого

и

Первое неравенство означает, что

или

N ≤ n + 1.

второе, что