Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

В размерности 24 геометрия упаковки – это решетка Лича, исключительная структура, характерная для размерности 24 (https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice). Следует отметить, что контактное число 196 560 отсылает к размерности 196 883, упомянутой в главе 20 и ассоциирующейся с Монстром. Это не совпадение. Математики знают, что подобные «нумерологические странности» часто служат знаком куда более глубоких связей. Монстр, один из самых интригующих математических объектов, связан со многими другими исключительными структурами (см. также Гипотезу чудовищного вздора, https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine).

Глава 17

Основные источники, касающиеся Унабомбера.

● О фрагментах дневника: David Johnston, "In Unabomber's Own Words, A Chilling Account of Murder," The New York Times, April 29, 1998.

● О теракте на рейсе 444 авиакомпании American Airlines: Stephen J. Lynton, Mike Sager, "Bomb Jolts Jet", The Washington Post

, November 16, 1979.

● «Манифест Унабомбера»: доступен, например, на сайте The Washington Post: https://www.washingtonpost.com/wp-srv/national/longterm/unabomber/manifesto.text.htm.

● О подробностях терактов и расследования: конференция от 19 ноября 2014 года в суде округа Сакраменто, штат Калифорния, снималась и транслировалась каналом C-SPAN: https://www.c-span.org/video/?322849-1/unabomber-investigation-trial.

● О роли Билла Тёрстона в расследовании рассказано в статье: Steven G. Krantz, Mathematical Apocrypha. Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical, The Mathematical Association of America, 2002.

Цитата Перельмана («Деньги и слава меня не интересуют») взята из статьи Russian Maths Genius Perelman Urged to Take $1m Prize, BBC News, March 24, 2010: http://news.bbc.co.uk/2/hi/europe/8585407.stm.

Дискуссия Билла Тёрстона и muad на сайте MathOverflow доступна по адресу: https://mathoverflow.net/questions/43690/whats-a-mathematician-to-do. Следует отметить, что комментарий Тёрстона: «Я пытаюсь писать то, что кажется мне реальным. Теперь я уже не боюсь чужих суждений, что делает все для меня проще», – перекликается с темой эпилога: чтобы осмелиться рассказать о человеческом опыте понимания, математики должны преодолеть нежелание своего сообщества затрагивать эту «несерьезную» тему.

Глава 18

«Проблема видов», то есть невозможность четко определить, что такое вид животных, – давно известная гносеологическая проблема, обсуждавшаяся многократно.

Среди прочих классических проблем, иллюстрирующих хрупкость человеческого языка, можно указать «парадокс кучи» (также известный как «парадокс сорита», от греческого «сорос», что значит «куча»): если убрать песчинку из кучи песка, это все еще будет куча песка; но если продолжить, в какой-то момент это уже не будет кучей – где находится граница? Этот парадокс, как и «парадокс лысого» (если вырвать волос у человека, не являющегося лысым, он не станет лысым – но можно ли действительно определить границу между «быть лысым» и «не быть лысым»?), обычно приписывается Евбулиду, греческому философу, жившему в IV веке до нашей эры.

Цитаты Людвига Витгенштейна взяты из параграфов 106 и 107 «Философских исследований» (французское издание: Recherches philosophiques, Paris, Gallimard, Tel, 2014), текста, законченного к 1949 году и опубликованного посмертно в 1953 году. Однако в первой половине жизни Витгенштейн, похоже, был близок к логицистским взглядам Бертрана Рассела (см. мой Эпилог), в отличие от фазы, когда он задавался вопросами «Философских исследований». Поздние работы Витгенштейна – прекрасное дополнение к этой главе и к главе 19. Самая доступная из них – возможно, сборник «О достоверности», собранный посмертно из его заметок (французское издание: De la certitude, Paris, Gallimard, Tel, 1976 [1969]).

Глава 19

Вопрос о происхождении абстрактных концептов известен в философии как проблема универсалий. Реалистическая позиция утверждает, что концепты есть явления реальные, то есть существующие вне зависимости от человеческого восприятия. Номинализм (и его концептуалистский) вариант утверждает, что это условности языка (или явления, существующие у нас в голове). Исторически реалистическая позиция долгое время преобладала. В Средние века этот вопрос в Европе стал предметом активных обсуждений, известных как Спор об универсалиях, которые подпитывало, в частности, принятие номиналистской концептуалистской позиции Пьером Абеляром (1079–1142) и Уильямом Оккамом (1285–1349), чьи тезисы были осуждены Церковью. В каком-то смысле глубокое обучение в конце концов признало их правоту.