Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

В самых общих чертах рассуждение разворачивается следующим образом: стратегия доказательства, что два узла различны, заключается в выявлении «инварианта», различающего их. Инвариант узла – это общая характеристика, присутствующая на всех его изображениях, как бы сложны они ни были.

Вот пример инварианта. Говорят, что рисунок узла «триколорируется», если можно раскрасить «части» рисунка (под этим подразумеваются видимые части рисунка, как если бы волокно, проходящее под пересечением, делилось на два) в три разных цвета, по одному на часть, с соблюдением следующего правила: на каждом пересечении все три участвующие в нем части (та, что «сверху», и две «снизу») имеют либо три разных цвета, либо один и тот же цвет.

Даже если это не очевидно на первый взгляд, можно доказать, что это действительно инвариант: узел триколорируется вне зависимости от выбранного рисунка. Чтобы доказать это, будем опираться на факт, что два рисунка изображают один и тот же узел, если – и только – от первого ко второму можно перейти через последовательность простых преобразований, именуемых движениями Рейдемейстера, и покажем, что движения Рейдемейстера сохраняют триколорируемость.

Например, простой узел триколорируется (см. ниже), а тривиальный узел нет (у него только одна часть, поэтому нельзя использовать три разных цвета).

Если бы простой узел был тем же самым, что и тривиальный узел, триколорировались бы оба или ни один из них. Так, выявив различающий их инвариант, мы доказали, что это два различных узла.

Даже если определение триколорируемости позволяет доказать результат, оно выглядит столь же произвольным, как и пресловутая «хитрость» для расчета суммы целых чисел от 1 до 100.

Как всегда, кажущаяся «хитрость» – знак, что есть более глубокий способ понять происходящее. Увы, лично я не в состоянии объяснить это в простой форме. Здесь задействован тип интуиции, который сложно выразить в нескольких словах.

По поводу сложных рисунков тривиального узла см. дискуссию «Существуют ли очень сложные тривиальные узлы?» (Are There any Very Hard Unknots?), начатую на сайте MathOverflow Тимоти Гауэрсом, лауреатом Филдсовской премии 1998 года: https://mathoverflow.net/questions/53471/are-there-any-very-hard-unknots.

«Сложный» рисунок тривиального узла, показанный в этой главе, называется гордиевым узлом. Мы обязаны им Вольфгангу Хакену (1928–2022), немецкому математику, известному тем, что он вместе с Кеннетом Аппелем доказал знаменитую теорему о четырех красках.

Короткое видео на YouTube – Haken's Gordian Knot Animation – показывает, почему на этом рисунке изображен тривиальный узел (https://www.youtube.com/watch?v=hznI5HXpPfE).

Что касается гипотезы Кеплера: хотя доказательство Тома Хейлза обращается к феноменальному количеству расчетов на компьютере, оно также содержит глубокую и оригинальную «концептуальную» часть. Априори совершенно неочевидно, что гипотеза может сводиться к конечному

числу расчетов и их можно на практике выполнить на компьютере.

Доказательства с помощью компьютера иногда становятся предметом обсуждения в математическом сообществе: если никто из людей не смог их прочесть и понять, следует ли действительно считать их доказательствами? И как мы можем быть уверены, что в цифровом коде нет ошибок?

После первого доказательства Том Хейлз начал масштабный проект с целью выстроить «формальное» подтверждение, компьютерное доказательство, проверяющее собственную истинность. Проект увенчался успехом. О нем рассказывается, в частности, в докладе «Формализация доказательства гипотезы Кеплера» (Formalizing the Proof of the Kepler Conjecture), доступном онлайн (https://www.youtube.com/watch?v=DJx8bFQbHsA). Этот доклад, прочитанный Хейлзом в Париже в 2014 году (в институте Анри Пуанкаре), не предназначен для широкой публики, но он показывает, какой может быть «живая» реальность современной науки.

Возможность определить плотнейшие упаковки шаров в размерностях 8 и 24 объясняется существованием исключительных геометрических структур, специфичных для этих размерностей, которые порождают особо плотные упаковки. Методы Марины Вязовской специфичны для этих размерностей.

В размерности 8 исключительной структурой будет геометрия типа E8 (см. примечания к главе 9 о классификации политопов). В соответствующей упаковке шаров количество контактов между соседними шарами (именуемое контактным числом) равно 240.