Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Когда мне встречается человек, который не знает, что существует несколько уровней бесконечности, для меня это примерно так же, как если бы я встретил человека, не знающего, что счет не ограничивается числом 5.

Возьмем плоскость с сеткой на ней. Я нарисую только маленький кусочек этой плоскости, но вам понятно, о чем я говорю: вот расчерченный лист бумаги, который со всех сторон распространяется в бесконечность.

В этой бесконечной сетке бесконечное количество белых клеток. Обычно люди понимают это утверждение, находя его простым и конкретным.

Бесконечная прямая также содержит бесконечное количество точек. Это обычно тоже всем ясно. Все понимают такой рисунок:

В сетке больше клеток, чем точек на прямой? Или одинаковое количество? Или, может быть, точек на прямой больше, чем клеток в сетке?

Я слышал смешки в ответ на эти вопросы. Люди были убеждены, что говорить о бесконечности – удел мистиков и теологов. Две типичных реакции: «вопрос не имеет смысла» и «бесконечности не существует».

Надо определиться: если бесконечности не существует, то не существует и прямых, или в них имеется только конечное количество точек. Математические абстракции не более и не менее реальны, чем остальные абстракции, которыми мы манипулируем. Существует ли на самом деле красный цвет? А электроны? Справедливость и свобода существуют на самом деле? В главе 18 мы поговорим о непреодолимых концептуальных трудностях, которые вызывает столь прагматичное и конкретное понятие, как слон: в каком-то смысле ведь слонов не существует. И это совершенно не мешает нам говорить о слонах, задавать конкретные вопросы о слонах и давать на них осмысленные ответы.

Кантор осознал, что лексикон множеств позволяет придать довольно точный смысл вопросам об уровнях бесконечности.

Понятие множества очень древнее. Его используют с античных времен, неформально, и никто не нашел в нем ошибок и не дал себе труда присмотреться поближе. Можно было говорить о «множестве домов на моей улице», «множестве яблок, лежащих перед тобой» или «множестве всех целых чисел», и все понимали, о чем речь. Это слово воспринималось как слово из повседневного языка, а не математический концепт.

Исходя из интуитивного понимания, что такое множество, Кантор придумал простой, но весьма выразительный лексикон. Его определения не сложнее нашей теории осязания из главы 8. Благодаря этому лексикону можно придать очень точный смысл нашим недавним вопросам и дать на них столь же неожиданный, сколь и ясный ответ.

Теорема: в прямой больше точек, чем клеток в сетке.

Самое поразительное – вот это все, от начальных определений до доказательства теоремы, можно объяснить ученику начальной школы, поговорив с ним меньше часа. Иначе говоря, решение задачи, считающейся не просто неразрешимой, а откровенно немыслимой с незапамятных времен, лежит прямо перед нами, и, желая найти его, мы можем управиться за час.

Я не шучу: мне случалось за чашкой кофе у друзей объяснять это их детям и тем было действительно интересно.

Вот в очень сжатом и неполном виде основные тезисы доказательства. Бесконечность клеток в сетке называется исчислимой

: можно пронумеровать все клетки целыми числами (например, начать с произвольной стартовой клетки, отметив ее 0, затем пронумеровать от 1 до 8 клетки, окружающие клетку 0, и так далее, двигаясь по замкнутым квадратам до бесконечности). Кантор открыл, что, напротив, прямая неисчислима: бесконечность ее точек настолько велика, что их невозможно все пронумеровать целыми числами. Чтобы доказать это, он использует прием, который сегодня называется диагональным аргументом Кантора.

Я не буду письменно объяснять вам все детали, а предложу найти кого-то, кто объяснит вам это вживую. Как мы уже видели в главе 6, непосредственное общение неизмеримо эффективнее чтения. Последуйте советам из главы 13 и заставьте себя задать все глупые вопросы, которые придут вам в голову: а они у вас будут, гарантирую.

Сам Кантор был крайне удивлен мощью собственного подхода, полагая, что тот послан ему напрямую Богом. По поводу одного из самых неожиданных результатов (в прямой столько же точек, сколько и в плоскости) он признался в письме к другу: «Я это вижу, но не верю в это!»

Результаты Кантора были так новы и ошеломительны, что ему пришлось столкнуться с недоверием современников. Один влиятельный математик обозвал его «шарлатаном», «ренегатом» и «совратителем юношества». Одна из его статей была отклонена научным журналом с мотивацией, что она написана «с опережением на сто лет».

К концу жизни, измученный полемикой, Кантор погрузился в тяжелую депрессию. Он много раз ездил в санатории восстанавливать психику.