Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Говоря «мимолетные объекты», я имею в виду, что это объекты, которые на первый взгляд как будто не могут быть четко выражены с помощью языка. Завязанная веревка – это не целое число. Она не похожа на что-то, что можно зафиксировать в уравнениях. Это нельзя уловить словами.

Пример с простым узлом весьма нагляден. Нам кажется, что веревка завязана, и ее нельзя развязать, не разомкнув. Но мы не можем сказать, в каком именно месте веревки расположен узел. Он находится не в какой-то конкретной точке, куда можно ткнуть пальцем. Мы чувствуем присутствие узла, но никак не можем действительно его найти.

Студентом я был крайне впечатлен, обнаружив, что возможно найти узлы средствами языка и дать полное доказательство результата со 100 %-ной уверенностью.

Теорема: простой узел отличается от тривиального узла.

Основные тезисы доказательства этой теоремы разъяснены в разделе «Для тех, кому нужно больше» в конце книги.

Упаковать апельсины

Заявлять, что все математические доказательства можно простыми словами объяснить неспециалистам, было бы ложью.

Задачи, которые проще всего поставить, иногда сложнее всего решить. Существует множество легко поставленных задач, решать которые мы вообще не умеем. И даже существуют легко поставленные задачи, которые мы умеем решать лишь чудовищно сложным способом, и считается, что простых решений у них нет.

Гипотеза Кеплера – идеальный пример. Она дает ответ на следующий вопрос:

Каков наилучший способ упаковать апельсины?

Великий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571–1630) интуитивно нашел решение еще в 1611 году, но не сумел доказать, что оно верно. Как мы уже видели, утверждение, которое мы считаем истинным, но не можем предоставить строгого доказательства, – это то, что математики называют гипотезой.

В его время апельсины были роскошью. Так что задача была сформулирована о снежинках. Само собой, ответа это не меняет.

Чтобы быть точнее, в вопросе предполагается, что апельсины представляют собой идеальные шары одинакового размера. Если мы попытаемся заполнить этими апельсинами все пространство, какой способ их упаковки позволит обеспечить наибольшую плотность?

В случае кубов такого же размера можно легко заполнить все пространство, не оставив пробелов. Мы получаем плотность в 100 %. С шарами это невозможно.

Продавцы апельсинов любят укладывать их вот так:

При таком расположении плотность составляет около 74.05 %: пространство заполнено апельсинами примерно на 74.05 %, и остается около 25.95 % пустого места между апельсинами. Гипотеза Кеплера утверждает, что это максимальная плотность, и не существует способа упаковать апельсины более плотно.

Интуитивно это кажется вполне правдоподобным. Но не очень понятно, как привести строгое доказательство.

Более двух веков никому не удавалось действительно продвинуться в решении этого вопроса. Первый прорыв осуществил Гаусс: в 1831 году он доказал, что если необходимо упаковать апельсины в соответствии с повторяющейся правильной схемой, как атомы в кристаллической решетке, то способ продавцов апельсинов действительно лучший из возможных.

Это эффектный результат, но он не полностью доказывает гипотезу Кеплера. Априори ничто не позволяет исключить, что существует какой-нибудь очень странный, без всякой закономерности, способ упаковать сто триллионов апельсинов, который будет плотнее любого закономерного способа.

Лично у меня нет ни малейшего представления, как можно подойти к решению такой задачи. Для меня она головокружительна.

После прорыва Гаусса понадобилось подождать еще более полутора веков, прежде чем гипотеза Кеплера была полностью доказана. Первое полное решение в 1998 году дал американский математик Том Хейлз (род. 1958).

Том Хейлз[25]

Таким образом, гипотеза оставалась недоказанной 387 лет. После столь долгого ожидания менять привычки трудно. До сих пор сохраняется склонность использовать выражение «гипотеза Кеплера», имея в виду сам результат, хотя следовало бы скорее говорить о «теореме Хейлза».

Я не в состоянии объяснить ее доказательство ученику начальной школы, как и кому бы то ни было еще, поскольку никогда серьезно ею не занимался, и мне понадобилось бы несколько лет работы, чтобы попытаться ее понять.

В сентябре 1998 года, Том Хейлз отправил свою статью в один из самых престижных математических журналов – Annals of Mathematics. Прежде чем научную статью принимают к публикации, ее обычно направляют анонимному рецензенту, который выносит заключение о ее научной ценности. Доказательство Хейлза было настолько сложным, что Annals of Mathematics поручил задачу по его оценке комитету из двенадцати рецензентов.