Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Понадобилось даже провести несколько международных конференций с единственной целью – попытаться понять доказательство. Через четыре года председатель комитета рецензентов заявил, что им удалось «на 99 % убедиться» в научной ценности доказательства. Статья была наконец принята в печать в августе 2005 года, почти через семь лет после подачи.

Особенность доказательства Хейлза в том, что оно частично опирается на общее математическое рассуждение для людей, а частично – на расчеты, выполненные компьютером, чтобы изучить тысячи специфических конфигураций, которые общее рассуждение определяет как возможные исключения. Именно эта смесь глубоких математических размышлений и тяжеловесных компьютерных расчетов делает доказательство настолько трудным. На сегодняшний день никто из людей не способен доказать гипотезу Кеплера одной лишь силой мысли.

Гипотеза Кеплера касается упаковки шаров в размерности 3, но вопрос об оптимальной упаковке шаров может быть поставлен в любой размерности. Как мы упоминали в главе 9, можно заниматься геометрией в размерности n при любом целом n.

В размерности 2 задачу решить достаточно просто. Шар размерности 2 – это окружность. Таким образом, задача касается способа наиболее плотно выложить монеты на столе. Оптимальное решение выглядит так:

Надо заметить, что этот результат гораздо проще доказать, чем вариант в размерности 3.

Ничто не запрещает попытаться взглянуть за пределы размерности 3. Если вы никогда не занимались геометрией в какой-либо размерности, мысль о том, что находятся достаточно отважные люди, которые берутся за такое, неизбежно внушает робость.

Когда задаче нужно почти 400 лет, чтобы нашлось решение в размерности 3, напрашивается вывод, что придется немало подождать, прежде чем она будет решена в более высокой размерности.

В размерности 4 ответ до сих пор неизвестен. Неизвестен он и в размерностях 5, 6 и 7.

Внезапные и неожиданные результаты получила в 2016 году украинская ученая-математик Марина Вязовская (род. 1984). Она начала искать решение варианта в размерности 8 благодаря новым и очень изящным методам. Через три месяца она использовала те же методы, чтобы вместе с четырьмя соавторами решить задачу в размерности 24.

Марина Вязовская[26]

Это единственные размерности выше 3, для которых известен ответ.

Очень странно осознавать, что мы умеем решать эту задачу в размерностях 8 и 24, а в размерности 4 или 5 – нет. Этому есть объяснение: в размерностях 8 и 24 происходят необыкновенные явления, порождающие невероятно плотные и гармоничные способы упаковки шаров. В размерности 24 упаковка настолько плотна, что каждый шар контактирует со 196 560 соседними шарами.

В начале этой главы я говорил о переживании ужаса. От мысли, что человек способен описать наилучший способ упаковки шаров в размерности 24, у меня кружится голова. Но я рад этому головокружению.

Могу представить, что вас ужасает сама идея размерности 24. Красота математики в том, что этот головокружительный ужас можно преодолеть.

Вам ничто не мешает понять, что такое размерность 24, а также понять, зачем может быть нужно заниматься геометрией в таком типе пространств (у всего этого есть реальные применения – например, геометрия упаковки шаров в размерности 24 используется в протоколах передачи данных зондов «Вояджер-1» и «Вояджер-2», отправленных NASA за пределы Солнечной системы). Основы геометрии в высокой размерности доступны вам интеллектуально. Вы можете научиться им за несколько недель. Сложнее всего будет преодолеть собственный страх.

Доказывать такие теоремы, как это сделали Том Хейлз и Марина Вязовская, разумеется, доступно не всем. Но вот понять, что подразумевают эти теоремы, и оценить их красоту может каждый, ценой не такого уж большого, в конечном счете, усилия.

Пример Марины Вязовской также может помочь справиться с устоявшимся, к несчастью, предрассудком. До сих пор можно услышать, что женщины биологически неспособны визуализировать объекты в пространстве и даже не в состоянии читать карты.

Если кто-нибудь будет рассказывать вам такую чушь, без колебаний напомните ему о Марине Вязовской.

Глава 16

Озарение

Мое самое раннее воспоминание о намеренном и продолжительном усилии что-то вообразить относится ко времени, когда мне было семь лет. Однажды вечером, лежа в постели, уже погасив свет и закрыв глаза, я осознал, что если хорошенько сконцентрируюсь, то смогу вообразить, что смотрю любимый мультфильм.

Я никому об этом не рассказывал.

Отлично помню, как я был восхищен и как тогда описал это явление для себя так: мне казалось, что я могу «смотреть телевизор в голове».

Мне удавалось визуализировать образы и сцены, которых я никогда не видел. Удавалось даже вообразить новые эпизоды. Меня это очень впечатлило и очень мне понравилось. Конечно, я продолжил этим заниматься.