Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

В конце концов его идеи одержали верх. С начала ХХ века понятие множества стало в математике центральным. Для моего поколения вообразить занятия математикой без множеств – все равно что вообразить жизнь без электричества.

Найти узлы

Когда я хочу объяснить, что такое математическое доказательство, зачем оно нужно, и донести тот неповторимый вкус уверенности, выстроенной силой мысли, я люблю использовать примеры из теории узлов.

В математике узел – это способ скрепить два конца веревки. Например, вы можете замкнуть веревку вот так:

Это простой узел. Веревка считается эластичной и неразрушимой: как бы мы ее ни теребили, не развязывая, узел от этого не меняется. Например, вы можете взять веревку, завязанную простым узлом, и потянуть ее, чтобы получить вот это:

Это все равно простой узел, просто он иначе нарисован. Если вы не можете мгновенно увидеть, как перейти от первого рисунка ко второму, и у вас несколько пухнет голова, не волнуйтесь. Это нормально. Если так будет проще, можете воспользоваться настоящей веревкой.

Самый простой способ замкнуть веревку – вот такой:

Это тривиальный узел. В некотором роде это ноль в мире узлов: узел, где нет узла как такового.

Конечно, можно нарисовать тривиальный узел иначе, например так:

Зрительно вполне очевидно, что на самом деле веревка не завязана и перед нами по-прежнему тривиальный узел. Но существуют другие способы нарисовать тривиальный узел, где уже совсем неочевидно, что это он. Например, его можно нарисовать так:

Мысленно распутать этот рисунок без помощи веревки или бумаги и карандаша уже совсем непросто. Несмотря на мою натренированность в манипулировании такими вещами, мне потребовалось немало времени, чтобы понять, что делать. Если у вас получится за несколько минут, без особой тренировки – браво, это очень сильно! Когда получится в первый раз, повторить будет уже намного проще.

Если честно, этот пример близок к пределу моей способности к визуализации. И этот предел остается далеко позади, когда нужно мысленно распутать заведомо более сложный рисунок тривиального узла, например такой:

Не знаю, существуют ли люди, способные мысленно распутать такую штуку и визуально убедиться, что узла на самом деле нет. Сама мысль приводит меня в ужас, голова пухнет от одной попытки такое вообразить.

Именно потому, что очень трудно увидеть, что на двух рисунках изображен один и тот же узел, теория узлов так интересна.

Стоит осознать, что существует бесконечное множество более или менее сложных способов нарисовать один и тот же узел, как становится понятно, что априори ничто не гарантирует, что два по-разному нарисованных узла на самом деле различаются. И возникает первый законный вопрос, например такой:

Действительно ли простой и тривиальный узлы различаются?

Иначе говоря, можете ли вы взять веревку, завязанную на простой узел, покрутить ее, чтобы развязать узел, не разомкнув веревку, и положить на стол просто в форме круга?

Если вы проведете эксперимент, у вас быстро возникнет впечатление, что это невозможно. На основании эксперимента можно сказать, что простой узел – это не то же самое, что тривиальный узел.

Я очень люблю этот пример, так как он наглядно иллюстрирует суть картезианского сомнения и радикального отличия между впечатлением и строгим доказательством.

Стоит и правда провести эксперимент, поиграв с веревкой 10 минут, и задать себе такой вопрос: насколько вы оцениваете свою уверенность, что простой узел действительно отличается от тривиального узла? 50 %? 80 %? 99 %? 99.99 %?

Спрошу даже намного грубее: были бы вы готовы дать руку на отсечение?

Что гарантирует вам, что нет какой-то извилистой тропки, невесть откуда взявшейся хитрости, которая позволит перейти от простого узла к тривиальному?

Это как с нерешаемыми на вид головоломками. Если у вас есть решение, вы уверены, что оно существует. Если нет решения, вам неочевидно, нет его вообще или просто вы его еще не нашли.

У всех нас складывается впечатление, что простой узел отличается от тривиального узла, но существование очень сложных рисунков тривиального узла показывает, что мы не может доверять первому впечатлению. Если веревка выглядит чудовищно запутанной, она необязательно запутана на самом деле.

Вполне реально представить, что можно распутать простой узел и обнаружить тривиальный, но для этого надо последовательно проделать настолько сложные манипуляции, что ни один человек пока не догадался, как это осуществить.

Итак, на первый взгляд кажется невозможным достичь 100 %-ной уверенности. Для этого понадобилось бы изучить бесконечное количество возможных способов завязывать узлы на веревке. Даже если мы провозимся с веревкой миллиард лет, мы опробуем лишь конечное число комбинаций.

Красота математического рассуждения как раз заключается в способности манипулировать столь мимолетными объектами, как узлы, и давать со 100 %-ной уверенностью ответы на вопросы, которые на первый взгляд кажутся абсолютно нерешаемыми.