Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Теперь, чтобы доказать написанное в условии неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство никогда не достигается. Равенство возможно лишь при одновременном выполнении равенств 4a + 1 = 1, 4b + 1 = 1, 4с + 1 = 1, т. е. при а = b = с = 0, что противоречит условию а + b + с = 1.

Итак,

10.6. Пусть b а. Тогда

(а + b)ⁿ = (2a)ⁿ = 2ⁿaⁿ 2ⁿ(aⁿ + bⁿ).

10.7. Так как ( ^а/_b)^{x -} возрастающая показательная функция (по условию а b) и p q, то

Воспользовавшись формулой производной пропорции, получим

что и требовалось доказать.

10.8. Имеем n очевидных неравенств:

Первое и последнее неравенства обязательно будут строгими, так как по условию n 1. Перемножая эти неравенства, получим

10.9. Способ 1. Обозначим ^a/_b = u, ^b/_c = v, ^c/_a = w. Тогда uvw = 1, т. е. среди чисел u, v и w есть хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (u = v = w невозможно, так как а, b и с не равны друг другу). Пусть u 1, а 0 v 1, т. е.

(1 - u)(v - 1) 0 или -uv + u + v - 1 0.

С другой стороны, для чисел u

, v и e выполняется неравенство

т. е. uv + w >= 2. Складывая это неравенство с неравенством - uv + u + v - 1 0, получим

u + v + w 3, или ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a 3.

Способ 2. Пусть u, v и w — положительные числа, причем w — наименьшее из них: u w, v w. Так как u и w — положительные числа, то на них можно умножить неравенство v w:

v(u - w) w(u - w), т. е. uv - vw + w^2 uw.

Поделим последнее неравенство на uw:

^v/_w - ^v/_u + ^e/_u 1.

С другой стороны,

^u/_v + ^v/_u >= 2.

Складывая с предыдущим неравенством, получим

^u/_v + ^v/_w + ^w/_u 3.

Если с — наименьшее из чисел а, b и с, то полагаем w = с, u

= а, v = b и получаем неравенство, которое требовалось доказать. Если а или b — наименьшее из чисел а, b и с, то обозначения соответственно изменятся.

Способ 3. Пусть b = с + d₁, а = b + d₂ (d₁ 0, d₂ 0, т. е. а b с). Тогда

Это решение обобщается на случай n чисел:

т. е.

10.10. Воспользуемся формулой Герона и применим к сомножителям p - а, p - b, p - с неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим трех чисел (p - а + p - b + p - с = 3p - 2p = p):

В условие входит величина 4S, для которой мы и проведем дальнейшие оценки

Выделим в числителе слагаемое 3(а^2 + b^2 + с^2), а излишек в 2(а^2 + b^2 + с^2) используем для образования полных квадратов, которые поглотили бы все попарные произведения:

и тем самым неравенство доказано.

10.11. Оценим левую часть неравенства:

(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 = (х^2 - 7х + 6)(х^2 - 7х + 12) + 10 = [(х^2 - 7х + 9) - 3][(х^2 - 7х + 9) + 3] + 10 = (х

^2 - 7х + 9)^2 - 9 + 10 = (х^2 - 7х + 9)^2 + 1 >= 1.

10.12. Подставляя в первое уравнение x^2 вместо yz, преобразуем систему следующим образом:

Числа y и z являются корнями квадратного уравнения относительно u:

u^2 + (x - х^3)u + x^2 = 0.

По условию числа x и z действительные. Следовательно, дискриминант 

D = (x - x^3)^2 - 4x^2 = x^2(1 - x^2)^2 - 4x^2 = x^2[(1 - x^2)^2 - 4]

должен быть неотрицательным.

Так как по условию x /= 0, то

(1 - x^2)^2 >= 4.

Это неравенство может выполняться, если либо 1 - x^2 = -2, либо 1 - x^2 >= 2. Второе неравенство не имеет решений, а из первого получаем x^2 >= 3, что и требовалось доказать.

10.13. Перепишем данные уравнения в виде откуда

yz = 8 - x(5 - x).

Числа y и z будут корнями уравнения

u^2 - (5 - x)u + x^2 - 5х + 8 = 0.

Так как y и z должны быть действительными числами, то дискриминант этого уравнения не может стать отрицательным ни при каких значениях x:

(5 - x)^2 - 4(х^2 - 5х + 8) >= 0, т. е. -3x^2 + 10x - 7 >= 0,

откуда

1 = x = ⁷/₃.

Так как уравнения, которым удовлетворяют x, y и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим для y и z:

1 = y = ⁷/₃, 1 = z = ⁷

/₃,

что и требовалось доказать.

10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 - 4а. Если а   1/4 , то дискриминант положителен и уравнение ax^2 + x + 1 = 0 имеет два различных корня:

Когда а 0, т. е. 0 а 1/4 , то получим решения неравенства:

x x₁, x x₂.

Когда а 0, то легко проверить, что x₂ x₁. Поэтому решения запишутся в виде

x₂ x x₁.

Дискриминант отрицателен, когда а 1/4 , а следовательно, а 0. Неравенство удовлетворяется при всех x.

Если а =  1/4 , то решения неравенства запишутся в виде x /= -2.

10.15. Условия задачи выполняются тогда и только тогда, когда интервал 1 x 2 будет расположен между корнями параболы, т. е. если

Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим систему двух квадратных неравенств

Решая первое неравенство, найдем

^{-7 - 35}/₂= m= ^{-7 + 35}/₂,

а решая второе, получим

-4 - 23 = m = -4 + 23.

Ответ. - 1/2 (7 + 35) = m = -4 + 23.

10.16. Пусть x₁ и x₂ — корни данного трехчлена. Тогда

Если корни x₁ и x₂ действительны, то из первой формулы следует, что они не могут быть оба положительными. Если оба корня отрицательны, то из второй формулы находим а 0, а следовательно, корни x₁ и x₂ меньше а. Если а = 0, то один из корней равен -1, и условие задачи снова не выполняется. Таким образом, а 0. При а 0 дискриминант 1 - 4a положителен и оба корня действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был больше а, т. е.

Это неравенство эквивалентно такому: