Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем -|а| = x = |а|.

Так как в первой системе x 0, то для нее получим решения:

0 x = |а|, а /= 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

-^|а|/₅  x  ^|а|/₅.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала -^|а|/₅  x = 0  при а /= 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а /= 0: -^|а|/₅ x = |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2^x 2^x:

2^{x - x} = 3 + 4 · 2^x - x;

обозначив 2^{x - x} = y, получим

y = 3 + ⁴/_y,

а так как y 0, то

y^2 - 3y - 4 = 0.

Корни трехчлена: -1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2^{x - x} = 4,

т. е. x - x = 2. Обозначим x = z и найдем решения неравенства

z^2 - z - 2 = 0.

Получим -1 = z = 2. Левое неравенство выполняется, если только x существует. Остается x = 2, т. е. 0 =

x = 4.

Ответ. 0 = x = 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3^x(3 + x - 2x^2) - 2(-2x^2 + x + 3) 0,

или

(3^x - 2)(-2x^2 + x + 3) 0.

Последнее неравенство[20] равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как -1   = 1  ³/₂, то окончательно получим x ³/₂.

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x 0, то неравенство равносильно такому:

^{(x - 1)2x - 1}/_{3 - x} 0, т. е. ^(x - 1)(x - 1/2 )/_x - 3 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим  1/2 x 1, x 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0^{- 1/3} , которое не имеет смысла.

При x 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. ^2x - 1/_{3 - x}, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при n = -2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = ³ⁿ + 1/_{2 + n}.

Из условия x 0 находим x = ³ⁿ + 1/_{2 + n} 0 и, следовательно, -2 n - 1/3 . Единственное целое число в этом интервале n

= -1, а соответствующее ему значение неизвестного x = -2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (-2)^-1 1.

Ответ.x = -2,  1/2 x 1, x 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x^2 + 12x + 10 1, или (2x + 3)^2 0. Это имеет место при всех x, кроме x = -³/₂. При x = -³/₂ основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x /= -³/₂, то оно равносильно неравенству

|х^3 - 5х + 2| >= x - 2,

которое заведомо удовлетворяется при x - 2 = 0, т. е. при x = 2. Пусть теперь x 2. Разложим трехчлен на множители:

|х^3 - 5х + 2| = |х^3 - 4x - (x - 2)| = |x - 2| |х^2 + 2x - 1| = (x - 2)|х^2 + 2x - 1|.

Так как x 2, то получаем равносильное неравенство

|х^2 + 2x - 1| >= 1,

а поскольку x^2 + 2x - 1 = x^2 + 2(x - 1/2 ) 0, то

х^2 + 2x - 1 >= 1, или x^2 + 2(x - 1) >= 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x 2.

Ответ.

x - любое действительное число.

10.31. Так как x 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(log_а x)^2 2,

откуда log_a x -2,  log_a x  2, т. е.

Если 0 а 1, то (log_a x)^2 2 и

Ответ. При 0 a 1,  при а 1,  x a².

10.32. Если x 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 x 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x 0, то непременно

^{5x + 2}/_5x + 10 =n,

где n — целое. Из условия x 0 находим

x = ¹⁰ⁿ - 2/_{5 - 5n} 0,

откуда n ¹/₅, n 1, или n /= 1. Мы получили бесконечное множество значений x. Чтобы выбрать из них подходящие, разберем два случая, в зависимости от того, четное или нечетное число n. Когда n = 2k, данное неравенство можно переписать в виде |x|^2k 1, т. е. (|x| - 1)k 0. Поскольку x 0, то получаем (x + 1)k 0. Так как x = ^20k - 2/_{5 - 10k}

, то

откуда k -³/₁₀, 0  k   1/2 . Так как k — целое, то k = -1, -2, -3, ... . Получаем серию решений первоначального неравенства: x = ^20k - 2/_{5 - 10k}, k = -1, -2, -3, ... .

Пусть теперь n = 2k + 1. Тогда x = ^10(2k + 1) - 2/_{5 - 5(2k} + 1) = -^10k + 4/_5k. Так как x 0, то исходное неравенство при этих значениях n удовлетворяется, если n /= 1, т. е. k /= 0.

Ответ. 0 = x 1, x = ^20k - 2/_{5 - 10k}, k = -1, -2, -3, ...; x = -^10k + 4/_5k, k = ±1, ±2, ±3, ... .

10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству

0 = log₂ ^{3 - 2x}/_{1 - x} 1.

(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа, стоявшего под знаком квадратного корня.)

Поскольку 0 = log₂ 1, 1 = log₂ 2 и основание логарифмов больше единицы, последнее неравенство можно записать так:

1 = ^{3 - 2x}/_{1 - x} 2.

Требование положительности числа ^{3 - 2x}/_{1 - x}, которое могло быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь автоматически.

Поскольку неравенство 1 = y 2 эквивалентно неравенству ^y - 1/_y - 2 = 0, получаем

Ответ.x >= 2.

10.34. Данное неравенство равносильно системе

0 |^{x - 1}/_2x + 1| 1.

Тем самым мы обеспечили положительность числа, стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство можно заменить условием x /= 1. Тогда получим систему

Эту систему можно преобразовать так: