Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Пусть а -³/₂. Тогда |2a + 3|= -2a - 3, т. е. x₁ = 5а + 3, x₂ = а - 3. Для каждого из этих корней решим неравенство (21) и учтем ограничение а -³/₂ . Пусть сначала x₁ = 5а + 3, тогда:

Решением последней системы будет а -³/₂, т. е. корень x₁= 5а + 3 существует при всех а -³/₂.

Пусть теперь x₂ = а - 3, тогда:

Итак, корень x₂ = а - 3 существует при всех а -³/₂.

Таким образом, при а -³/₂ исходное уравнение имеет два корня x₁ = 5а + 3 и x₂ = а - 3.

Аналогично исследуется случай а -³/₂. При этом |2a + 3| = 2a + 3 и соответственно x₁ = 3a - (2a + 3); x₂ = 3a + (2a + 3) = 5а + 3. Подставляем эти значения в (21). Для x₁ = а - 3 получим:

Аналогично для x₂ = 5а + 3 имеем:

Итак, x₁ = а - 3 будет корнем исходного уравнения, когда

-³/₂ а

 = 3 и а >= 12.

x₂ = 5а + 3 будет корнем, когда -³/₂ а = -¹²/₁₇; а >= -⁵¹/₈₅.

Обобщим результаты на числовой оси а (рис. P.9.36).

Ответ. При a (-, -³/₂) (-³/₂, -¹²/₁₇) (-⁵¹/₈₅, 3)  [12, +)  уравнение имеет два корня: x₁ = 5а + 3, x₂ = а - 3. При а = -3 имеет один корень x = 3a = -⁹/₂. При а (-¹²/₁₇, -⁵¹/₈₅) уравнение имеет один корень x = а - 3, а при а  (3, 12) — один корень x = 5а + 3.

9.37. Уравнение можно записать в виде

x(^5x/_5x^2 - 7x + 6 + ^2x/_5x^2 - x + 6 - 1) = 0.

При x = 0 множитель в скобках существует и равен -1. Поэтому x = 0 — корень данного уравнения. Другие корни должны быть корнями уравнения

^5x/_5x^2 - 7x + 6 + ^2x/_5x^2 - x + 6 = 1.   (22)

В знаменателях стоят симметрические многочлены. Значение x = 0 не является корнем (22) и выражение (22) не теряет при этом значении смысла. Поэтому разделим числители и знаменатели каждой дроби на x:

Проведем замену

t

 = 5х + ⁶/_x.    (23)

Тогда

⁵/_t - 7 + ²/_t - 1 = 1.    (24)

Дальше решение стандартно. Уравнение (24) имеет корни t₁ = 13 и t₂ = 2. Подставляя их в (23), найдем для t₁ значения x₂ = 2, x₃ = ³/₅. Для t₂ решений нет.

Ответ. 0; 2; ³/₅.

9.38. Пусть x + y = u, xy = v. Тогда получим

Во второе уравнение подставим u^2 = v + 327:

(327 - v)^2 - v^2 = 84 693,

или

327^2 - 2 · 327v = 84 963.

Так как 84 693 = 327 · 259, то сократим уравнение на 327 и найдем v = 34, u^2 = 361.

Остается решить две системы:

Ответ. (2, 17), (17, 2), (-2, -17), (-17, -2).

Глава 10

Алгебраические неравенства

Ответы к упражнениям на с. 59, 62 и 63.

1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые решения.

2. Получим систему неравенств, не имеющую решений.

3. Ответ. -1 x = 1, 5 x = 7, x 8.

4. Вначале нужно переписать неравенство в виде

(x - ⁵/₂)(zx - 3)(x - 4)^2 = 0.

Последний множитель показывает, что точка 4 обязательно должна принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.

Ответ.⁵/₂ = x = 3, x

= 4.

5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому:

(x + 3)^2(x + 1)(x - 2)(x - 4)^2(x - 5) 0.

Достаточно решить неравенство

(x + 1)(x - 2)(x - 5) 0

и исключить, если они попали в множество решений, точки x = -3, x = 4.

Ответ.x -3, -3 x -1, 2 x 4, 4 x 5.

6. 0 = ax^2 + bх + с 9.

7.ax^2 + bх + с >= 9; здесь не нужно заботиться о знаке подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат получаем неравенство, из которого следует, что это выражение положительно.

8.

(см. пример 4 на с. 62).

9. Нужно разобрать два случая в зависимости от знака правой части: если правая часть отрицательна, то неравенство удовлетворяется при всех x, при которых левая часть существует; если правая часть неотрицательна, то обе части неравенства нужно возвести в квадрат (подкоренное выражение при этом не может стать отрицательным):

10.1. Обозначим а = 1 + k. Тогда из условия а + b = 2 получим b = 1 - k. Вычислим а⁴ + b⁴:

а⁴ + b⁴ = (1 + k)⁴ + (1 - k)⁴ = 2k⁴ + 12k^2 + 2 = 2(k⁴ + 6k^2 + 1) >= 2,

так как k⁴ + 6k^2 >= 0 и, следовательно, k⁴ + 6k^2 + 1 >= 1.

10.2. Обозначим произведение, стоящее в левой части неравенства, через P

. Так как а₁а₂ ... а_n = 1, то

(осуществлено почленное деление суммы 1 + а_i на а_i). Поскольку

то P^2 >= 4ⁿ и, следовательно, P >= 2ⁿ, что и требовалось доказать.

10.3. Способ 1.

Способ 2. Неравенству a ^2/3  + b ^2/3 c ^2/3  эквивалентно неравенство

(^a/_c) ^2/3 + (^b/_c) ^2/3 1.

Так как b с и а с, то основания показательных функций (^a/_c)^x и (^b/_c)^x меньше единицы и эти функции убывают. Следовательно,

(^a/_c) ^2/3 + (^b/_c) ^{2/3 a}/_c + ^b/_c = 1.

10.4. Данное неравенство можно переписать так:

4x^3 - 4x^2 + 1 >= 0.

Оценим левую часть:

4x^2(x - 1) + 1 = -4x^2(1 - x) + 1.

Так как 0 = x = 1, то x^2 = x и 1 - x >= 0. Следовательно,

-4x^2(1 - x) + 1 >= -4x(1 - x) + 1 = (2x - 1)^2 >= 0,

что и доказывает наше неравенство.

10.5. Каждый из входящих в неравенство корней оценим следующим образом:

Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что