Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны позаботиться о сохранении связей, которые неявно присутствуют в этом неравенстве:

Последнее неравенство выполняется, так как мы установили, что а 0. Первые два преобразуются к виду

Ответ.а -2.

10.17. Так как k /= 0, то ветви параболы направлены вверх. Внутри интервала от -1 до +1 парабола имеет только один корень тогда и только тогда, когда на концах этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.

(k^2 - k - 2)(k^3 + k - 2) 0.

Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим

(k - 2)(k + 1)(k + 2)(k - 1) 0.

Ответ. -2 k -1; 1 k 2.

10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх, означает, что m 0. Если парабола не пересекает ось Ox, то получаем систему

Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные корни, то больший корень не должен быть положительным:

Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся система) не имеет решений при m 0, так как числитель и знаменатель оказываются положительными.

Решая второе неравенство первой системы, найдем

m  -⁴/₃

, m 1.

Принимая во внимание первое неравенство, находим решение системы: m 1.

Пусть теперь m = 0. Правая часть данного неравенства принимает вид -4x + 1 0, т. е. x 1/4 , и неравенство удовлетворяется не при всех положительных x.

Ответ.m 1.

10.19. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой совокупности двух систем:

Итак, 3 = x 5, 2 x 3.

Ответ. 2 x 5.

10.20. Неравенство можно переписать в виде

(x - 3)^2 (x + 2)^2,

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных получим линейное неравенство.

Ответ.x   1/2 .

10.21. При x 0 неравенство можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно системе

которая несовместна, так как несовместны два последних неравенства.

При x 0 входящее в данное неравенство выражение  не существует.

Ответ.

Неравенство не имеет решений.

10.22. Данное неравенство можно переписать так:

Получаем совокупность двух систем

Решаем первую систему

Если правая часть второго неравенства отрицательна (x 1/3 ), то неравенству будут удовлетворять все x, при которых подкоренное выражение неотрицательно (x^2 = 1/4 , |x| = 1/2 ). Получаем интервал решений 1/3 x = 1/2 .

Если правая часть второго неравенства неотрицательна (x = 1/3 ), то второе неравенство можно возвести в квадрат (дополнять систему условием 1 - 4x^2 >= 0 или |x| = 1/3  не нужно). После простых преобразований получим

откуда 0 x = 1/3 . Объединяя интервалы 0 x = 1/3 и 1/3 x = 1/2 , получим решение первой системы: 0 = x = 1/2 .

Перейдем ко второй системе:

Условие x 0 обеспечивает положительность правой части второго не равенства. Возведем второе неравенство в квадрат, учитывая, что |x| = 1/2 . Получим

Ответ. - 1/2  = x 0, 0 x = 1/2 .

10.23. Перепишем данное неравенство в виде

Так как в неравенство входит выражение  а потому . Вынесем множитель  за скобки:

Это неравенство равносильно системе

Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом следует добавить условие, в силу которого выражение, «освободившееся» от влияния радикала, должно быть неотрицательным:

Так как x^2 - x

+ 1 0 при всех x, то первому неравенству системы могут удовлетворять только x 0, ибо выражение справа всегда положительно. Следовательно, систему можно переписать в виде

Обозначим  тогда первое неравенство примет вид y^2 - 2y + 1 0, т. е. (y - 1)^2 0, откуда y /= 1. Итак,

Последняя система равносильна такой:

Ответ.

10.24. При x 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае  Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

^{121x^2 + 198x + 81}/_4x^2 + 36x + 81 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 x ⁴⁵/₈.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x 0, то, умножив обе части на -1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x

0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 x ⁴⁵/₈.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y^2 + y - 42 0,

которое имеет решения: -7 y 6. Итак,

Поскольку сумма  всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни x и  здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение x  на  мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 = x  ⁸⁴¹/₁₄₄.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем