Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Мы получили систему относительно x^2 = u и y^2 = v:

Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене неизвестных равносильность может быть нарушена!), достаточно потребовать выполнения неравенств

u  0, v 0.

Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим

Вычитая из первого уравнения второе, найдем

u - v = а^2 - b^2,

т. е. u = v + а^2 - b^2. Подставим в первое уравнение последней системы, получим квадратное уравнение относительно v:

v^2 + (а^2 - b^2 - 1)v + b^2 = 0,

откуда

Вычисляем u:

(У u и v, входящих в одно решение, берутся одноименные знаки.)

Подкоренное выражение можно преобразовать следующим образом:

(1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2 = (1 - а^2 + b^2 - 2b)(1 - а^2 + b^2 + 2b) = [(1 - b)^2 - а^2][(1 + b)^2 - а^2] = (1 - b - а)(1 - b + а)(1 + b - а)(1 + b + а).

Так как а

b  0 и а + b 1, то каждый из четырех множителей положителен и дискриминант тоже положителен.

Если перед корнем выбран знак плюс, то u и v положительны. Докажем, что v 0. Имеем а^2 - b^2 = (а - b)(а + b) а - b а - b + 2b = а + b 1. Следовательно, 1 - а^2 + b^2  0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что v 0. Так как а b, то очевидно, что и u 0.

Если перед корнем выбран знак минус, то нужно проверить, что u и v положительны. Так как а b, то проверку достаточно провести для v, которое меньше u.

Неравенство  очевидно.

Нетрудно проследить, что в процессе решения системы уравнений относительно u и v при условии, что u и v положительны, мы не нарушали равносильности.

Способ 2. Эту систему естественно было бы решать с помощью подстановки x = sin , y = sin , где 0    /₂, 0   /₂. Такая подстановка возможна, поскольку из имеющихся в условии ограничений легко получить, что 0 x 1, 0 y 1. Получим систему

Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем

Так как по условию 0 а + b 1 и 0 а

- b 1, а на  и  были наложены ограничения 0   /₂, 0   /₂, то можно написать

или

Из первой системы получим

Найдем sin ₁ и sin ₁:

где  = arcsin (а + b), = arcsin (а - b). (При выборе знаков перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во внимание ограничения на  и : 0 /₂, 0 /₂.) Продолжим преобразования:

Нетрудно убедиться в том, что

[1 - (а + b)^2][1 - (а - b)^2] = (1 - а^2 + b^2)^2 - 4b^2.

Аналогично найдем sin _1^, а также sin ₂ и sin ₂.

Ответ. Если а b 0, а + b 1, то система имеет два решения:

9.30. Наряду с решением x₁, y₁, z₁ система обязательно имеет решение -х₁, -у₁, z₁. Поэтому у системы будет единственное решение только в том случае, когда x = y = 0.

Подставляя x = y

= 0 в исходную систему, получим

откуда либо а = b = 2, либо а = b = -2.

Проверим, действительно ли при найденных значениях а и b система имеет единственное решение.

Если а = b = 2, то из первого уравнения находим

xyz = 2 - z.

Подставляя во второе, получим квадратное уравнение относительно z:

z^2 - 3z + 2 = 0,

корни которого z₁ = 1, z₂ = 2.

При z = 1 получим систему

которая, как легко проверить, имеет четыре решения.

Таким образом, значения параметров а = b = 2 не удовлетворяют условию задачи.

Если а = b = -2, то из первого уравнения найдем

xyz = -2 - z.

Подставляем во второе:

z^2 + z - 2 = 0,

откуда z₁ = -2, z₂ = 1.

При z = -2 приходим к системе

имеющей единственное решение x = y = 0. При z = 1 получаем систему

Подставляем во второе уравнение y = -³/_x и убеждаемся, что уравнение x⁴ - 3x^2 + 9 = 0, которое получается в результате, имеет только мнимые корни.

Ответ.a = b = -2.

9.31. По условию y = -x. Данные уравнения примут вид

Если а /= -1, то, найдя x

^3 из первого и второго уравнений, приравняем полученные выражения

1/2 (а + 1) = ¹/_{2 - a}, т. е. а^2 - а = 0,

откуда а = 0 или а = 1.

Условию задачи могут удовлетворить только три значения параметра а:

-1, 0, 1,

которые нужно проверить.

Если а = -1, то из первого уравнения найдем y = -x, а из второго уравнения найдем x^3 = 1/3 и , а следовательно,  Найденные значения неизвестных удовлетворяют и условию x + y = 0.

Если а = 0, то из первого уравнения:  а из второго:  Это значит, что при а = 0 система имеет два решения:

По условию любое решение должно удовлетворять требованию x + y = 0, между тем первое решение этому требованию не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.

Осталось рассмотреть случай, когда а = 1. B этом случае получим систему

Так как правые части отличны от нуля, то разделим первое уравнение на второе, откуда x + y = 0. Поскольку условие x + y = 0 теперь автоматически выполняется для любого решения системы, то нужно убедиться, что y этой системы есть хотя бы одно решение. Таким решением является x = 1, y = -1. (Докажите.)

Ответ. ±1.

9.32. Так как система должна иметь хотя бы одно решение при любом b, то она должна иметь решение и при b = 0. Положив b = 0, получим систему

Первое уравнение удовлетворяется либо при а = 0 и любом x, либо при x = 0. Если x = 0, то из второго уравнения получаем а = 1. Итак, возможны только два значения: а = 0 и а = 1.

При а = 0 получаем систему

Первое уравнение имеет решение при любом b, только если y = 0. Однако это значение y не удовлетворяет второму уравнению.

Остается рассмотреть случай а = 1. Система примет вид

При любом b эта система имеет решение x = y = 0.

Ответ. 1.