Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как последнее неравенство следует из первого, то получаем такую систему:

откуда 1 x 2.

Если x^2 - 1 1, т. е. x^2 2, то приходим ко второй системе:

откуда x ^{3 + 5}/₂.

Ответ. 1 x 2, x ^{3 + 5}/₂.

10.46. Перепишем неравенство в виде

Равносильность при этом не нарушается, так как оба выражения в квадратных скобках (полученное и данное в условии) существуют одновременно при x 0. Выясним, когда основание положительно и когда оно отрицательно (если оно равно нулю, то неравенство не удовлетворяется). Для этого воспользуемся условным символом V, обозначающим сравнение левой и правой частей, и не будем нарушать равносильность при преобразованиях:

Преобразуем первое соотношение, имея в виду, что x - положительное число:

Итак, при  основание положительно, а при  оно отрицательно. Из отрицательных значений основания мы должны рассмотреть лишь те, при которых x - 4, а следовательно и x, — четное число. Среди чисел, заключенных в интервале ,  есть только одно четное: x = 2. Подставим это число в левую часть исходного неравенства:

Таким образом, x = 2 не удовлетворяет данному неравенству.

Пусть теперь основание положительно, т. е. . Тогда неравенство (1) равносильно такому:

т. е.

(пояснения приведены во втором указании на с. 192). В последнем неравенстве основание степени положительно, так как x 0. Следовательно, его можно преобразовать к виду

т. е.

Мы рассматриваем случай . Решив неравенства

получим, что выражение  больше нуля, когда x 6, равно нулю, когда x = 6, и меньше нуля, когда  Таким образом, вместо неравенства (2) можно записать

(x - 6)(x - 4) >= 0,

т. е.

Ответ.

10.47. Данное неравенство может выполняться только в том случае, если дискриминант стоящего в левой части квадратного трехчлена относительно x положителен, т. е.

Решением этого неравенства будут

log_0,5

y^2 -3, log_0,5 y^2 1.

В первом случае получим y^2 8, во втором 0 y^2 1/2 .

Ответ.y -8, -¹/₂ y 0, 0 y ¹/₂, y 8.

10.48. Для ответа на вопрос задачи нужно найти такие значения а, что множество решений второго неравенства не уже множества решений первого. Таким образом, если y первого неравенства есть решения, они все должны попасть в интервал (-3, -1).

Корнями квадратного трехчлена

х^2 - а(1 + а^2)x + а⁴

будут числа а и а^3. Когда они совпадают (а = ±1, а = 0), ветви параболы направлены вверх и квадратный трехчлен не может стать отрицательным.

Докажем, что следствием неравенства, не имеющего решений, является любое неравенство. В частности, любое решение первого неравенства при а = 0, ±1 содержится среди решений второго. Предположим, что это не так. Тогда существует решение первого неравенства, не удовлетворяющее второму. Мы приходим к противоречию с тем фактом, что первое неравенство в рассматриваемых случаях вообще не имеет решений.

Если же корни различны (а /= а^3), то оба они должны попасть в интервал [-3, -1]

т. е.

Ответ.

10.49. Сначала решим строгое неравенство

Оно равносильно системе

При а = 1 решений y этой системы нет. При а 1 ее решениями будут значения x, для которых 1 x а.

Остается выяснить, какие значения x удовлетворяют уравнению

(4)

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Поскольку в первой системе x = 1, то x /= 2; остается обеспечить, чтобы а - 1 >= 0, т. е. а >= 1.

Итак, при каждом а >= 1 есть решение x = 1, а при каждом x /= 2 есть решение x = а. (При а = 1 эти решения совпадают.)

Решение второй системы при а /= 2: x = а. Остается объединить решения неравенства (3) и уравнения (4).

Ответ. При а = 1 имеем x = а; при 1 а 2 имеем 1 = x = а; при а = 2 имеем 1 = x  2; при а 2 имеем 1 = x = 2, x = а.

10.50. Поскольку

х

^2 + 8х + 15 = (x + 3)(x + 5),   а x^2 + 7х + 10 = (x + 2) (x + 5),

то данное неравенство можно записать в виде

(x + 5)[(x + 3) · 2^{2 + x} - (2 + x)] 0. (5)

При x + 5 = 0 исходное неравенство не удовлетворяется. Поэтому (5) равносильно совокупности двух систем:

Далее придется рассмотреть случаи x + 3 0 и x + 3 0 (при x + 3 = 0 неравенство (3) удовлетворяется!). Располагая точки x = -5 и x = -3 на числовой оси, мы получим три интервала x -5; -5 x -3; x -3. Соответственно, приходим к совокупности трех систем неравенств:

Построим графики функций

y₁ = 2^{2 + x}, y₂ = 1 - ¹/_x + 3

(рис. P.10.50).

Просто сослаться на график и указать интервалы решений нельзя. График подскажет, какие сравнения нужно привести для решения неравенства.

При всех x -5 получим, что y₂ 1, а y₁ 1, т. е. y₁

y₂: второму неравенству первой системы значения x -5 не удовлетворяют.

При -5 x -3 также y₁ 1, а y₂ 1 и снова y₁ y₂. Однако на этот раз второе неравенство второй системы удовлетворяется.

При x -3 второе неравенство третьей системы вновь удовлетворяется. В самом деле, при -3 x -2, y₁ 0, а y₂ 0, т. е. y₁ y₂. Далее при x >= -2 имеем у₁ >= 1, 0 y₂ 1, т. е. снова у₁ y₂. Остается вспомнить, что x = -3 было решением (5).

Ответ.x  (-5; +).

10.51. Ясно, что подставлять интересующие нас значения x в данное неравенство и проверять, удовлетворяется ли это, не нужно. Проще это неравенство решить. Так как lg 5 /= 1/2 , то |0,5 - lg 5| 0, т. е.