Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

x = 20ⁿ/₆ + 5/₆ = 10ⁿ/₃ + 5/₆.

Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m - 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m - 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m - 1 удобнее.)

Для n = 3m получим

x = 10m + 5/₆,   cos x = cos ⁵/₆ /= 0;

при n = 3m + 1:

x = 10^{3m + 1}/₃ + 5/₆ = 10m + 10/₃ + 5/₆ = 10m + 25/₆ = 100 + 4 + /₆,

т. е. cos x = cos /₆ /= 0,

при n = 3m - 1:

x = 10^{3m - 1}/₃ + 5/₆ = 10m - 10/₃ + 5/₆ = 10m - 15/₆ = 10m - 2 - /₂,

т. е. cos x = cos (-/₂) = 0.

Итак, значение n = 3m

- 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x /= 0 удовлетворяется.

Остаются два варианта:

x = 5(12m + 1)/₆, x = 5(12m + 5)/₆, m = 0, ±1, ±2.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x /= 0 для каждого из найденных значений.

Ответ. 5(12m + 1)/₆; 5(12m + 5)/₆.

13.49. Обе части уравнения существуют, если cos x /= 0, sin 2x /= 0, cos 2x /= 0.

Все эти ограничения равносильны условию sin 4x /= 0, поскольку

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 4 sin x cos x cos 2x.

Если sin 4x /= 0, то все последующие преобразования правомерны. Преобразуем левую часть, воспользовавшись соотношениями:

tg^2 x + 1 = ¹/_{cos^2 x}, cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x.

Тогда

Так как cos 2x /= 0, cos x /= 0, то

4 cos^2 x - 1 = ^{cos 3x}/_{sin x}.

Поскольку 2 cos^2 x = 1 + cos 2x и sin x /= 0, получим

2 cos 2x sin x + sin x = cos 3x,

или

sin 3x - sin x + sin x = cos 3x,

т. е. tg 3x = 1, откуда 3x = /₄ + k = /₄(4k + 1), k = 0, ±1, ±2, или x = /₁₂(4k + 1).

Теперь нужно позаботиться о соблюдении ограничения sin 4x /= 0, т. е. 4x /= n, x

 /= ⁿ/₄.

Равенство

/₁₂(4k + 1) = ⁿ/₄, или /₃(4k + 1) = n,   (8)

может иметь место, когда 4k + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим три случая: k = 3m, k = 3m + 1, k = 3m - 1. Тогда для 4k + 1 получим

4(3m) + 1 = 12m + 1,

4(3m + 1) + 1 = 12m + 5,

4(3m - 1) + 1 = 12m - 3 = 3(4m - 1).

Последний из вариантов должен быть исключен, так как именно в этом случае равенство (8) имеет место.

Ответ./₁₂(12m + 1); /₁₂(12m + 5).

13.50. Представим уравнение в виде

2(tg x + ctg 2x) + (tg ^x/₂ + ctg 2x) + (ctg 2x - ctg 3x) = 0.

Преобразуем

(Сокращение на cos x возможно, так как ограничение cos x /= 0 остается благодаря наличию множителя cos x в знаменателе sin 2x.)

Аналогично

(Во второй дроби sin x - общий множитель числителя и знаменателя. Однако сокращать на него не следует, хотя это и возможно).

Таким образом, уравнение примет вид:

После сложения дробей в скобках получим числитель, который, шаг за шагом, преобразуем:

Итак, данное уравнение преобразовано к равносильному ему:

Нужно найти корни числителя, при которых знаменатель не обращается в нуль. Сомножитель cos x /= 0, так как в знаменателе есть sin 2x = 2 sin x cos x. Второй сомножитель тоже не равен нулю, так как входит множителем и в числитель, и в знаменатель. Остается sin ^5x/₂ = 0, что имеет место при ^5x/₂ = k, т. е. при x = ^2k/₅, где k = 0, ±1, ±2.

Отсеим из этого множества чисел значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Это будет, когда k делится на 5, т. е. k = 5n.

При остальных k, т. е. при k = 5n ± 1 и k = 5n

± 2 знаменатель в нуль не обращается.

Ответ. 2⁽⁵ⁿ ± 1)/₅, 2⁽⁵ⁿ ± 2)/₅.

13.51. Ограничения sin t /= 0 и cos t /= 0 объединяет условие sin 2t /= 0. Учтем, что

sin 3t - sin t = 2 sin t cos 2t,    ctg^2 t + 1 = ¹/_{sin^2 t}.

Тогда уравнение (мы учли, что sin 2t /= 0) примет вид

или

Так как 2 cos^2 t = 1 + cos 2t, а 2 sin^2 t = 1 - cos 2t, то после сокращения дроби в левой части уравнения на cos 2t получим

cos t = ¹/_{2 cos 2t} - 1,

где cos 2t /= 0.

Если cos 2t /= 1/2 , то

2 cos 2t cos t - cos t = 1,

или

cos 3t + cos t - cos t = 1,

т. е. cos 3t = 1 и t = ^2k/₃ , k = 0, ±1, ±2, ... .

Остается учесть все ограничения:

sin 2t /= 0, cos 2t /= 0, cos 2t /= 1/2 .

Условия sin t /= 0, cos t /= 0, cos 2t /= 0 можно объединить: sin 4t /= 0. Из значений неизвестного t = ^2k/₃ нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = 1/2 . Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m - 1. Итак, остались для проверки значения:

t = 2^(3m + 1)/₃   и   t = 2^(3m - 1)/₃.

Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2^(3m + 1)/₃] и cos[2^(3m - 1)/₃]

cos[2^{(3m + 1)}/₃] = cos (2m

 + ²/₃) = cos ²/₃ = - 1/2 ,

cos[2^{(3m - 1)}/₃] = cos (2m - ²/₃) = cos (-²/₃) = - 1/2 .

Ответ. 2^(3m ± 1)/₃. 

Глава 14

Тригонометрические неравенства

14.1. Неравенство равносильно такому:

sin^2 x cos^2 x,

т. е.

cos^2 x - sin^2 x 0, cos 2x 0,

откуда

/₂ + 2n 2x ³/₂ + 2n.

Ответ. /₄ + n x ³/₄ + n.

14.2. Перепишем неравенство в виде

¹/₂ cos x - ¹/₂ sin x -¹/₂,

откуда

cos  (x + /₄)  -¹/₂,

 т. е.

³/₄ + 2n x + /₄ ⁵/₄ + 2n

Ответ./₂ + 2n x + 2n.

14.3. Способ 1. Неравенство sin x 3 cos x равносильно совокупности трех систем

Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.

Способ 2. Запишем данное неравенство так: