Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg ^x/₂ не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = (2n + 1). Убеждаемся, что

sin (2n + 1) - 3 cos (2n + 1) = 3,

т. е. эти точки не являются корнями неравенства.

Приходим к квадратному неравенству

3 tg^2 ^x/₂ + 2 tg ^x/₂ - 3 0,

откуда

Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.

Ответ. arctg 3 + (2n + 1) x arctg 3 + 2n.

14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим

Так как 1 + y^2 0, то это неравенство равносильно такому:

y^3 + 2y^2 - y - 2 0.

Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:

(y + 2)(y + 1)(y - 1) 0.

Решения этого неравенства будут лежать в интервалах

y -2,   -1 y 1,

т. е.

tg x - 2,   -1 tg x 1.

Ответ. -/₂ +

n x -arctg 2 + n; -/₄ + n x /₄ + n.

14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем

Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.

Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x >= 0, а во втором — в которых cos x = 0.

Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.

Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде

Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = /₂ + k — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x /= 0, и решать неравенство

Когда sin x >= 0, то получим tg x -1, tg x 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x = 0, то -1 tg x 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).

Ответ./₄ + 2n x ³

/₄ + 2n; + 2n = x ⁵/₄ + 2n; ⁷/₄ + 2n x = 2(n + 1); x = (4n - 1)/₂.

14.6. Выразим все тригонометрические функции через cos x = y. Получим неравенство

2y^2 + 13y + 5 >= |2y^2 - 3y + 1|.

Оно равносильно совокупности систем

или

Так как y = cos x, то -1 = y = 1. Учитывая это ограничение, получим

- 1/4 = y = 1/2 , y = 1, 1/2 y 1,

т. е.

cos x >= - 1/4 .

Ответ. (2k - 1) + arccos  1/4  = x = (2k + 1) - arccos 1/4 .

14.7. Если cos x = 0, то sin^2 x = 1 и неравенство не удовлетворяется.

Поделим обе части неравенства на cos^2 x и обозначим tg x = y. Получим алгебраическое неравенство

2 y^2 - 2y + 2 - 2 0.

Разделив на 2, получим неравенство

y^2 - 2 y + 2 - 1 0,

откуда

2 - 1 tg x 1.

Из интервалов, в которых лежит x:

arctg (2 - 1) + n x /₄ + n,

выбираем решения, лежащие в (0, 2).

Ответ. arctg (2 - 1) x /₄; + acrtg (2 - 1) x ⁵/₄.

14.8. Дискриминант трехчлена равен

(2 cos  - 1)^2 - 4 cos^2  + 10 cos  - 4 = 6 cos  - 3.

Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать

6 cos  - 3 0; т. е. cos  1/2 ,

откуда 0 =  /₃ (в условии сказано, что 0 = = ).

Свободный член сравним с нулем:

2cos^2  - 5cos  + 2  0.

Так как корнями трехчлена 2y^2 - 5у + 2 будут числа  1/2 и 2, то свободный член будет положителен при cos    1/2 и отрицателен при cos  1/4 . Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.

Поскольку x₁ + x₂ = 2cos  - 1, что при cos    1/2 больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.

Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при 0 = /₃. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.

14.9. Если sin x >= 0 и cos x >= 0, то данное неравенство равносильно такому:

Так как при sin x >= 0 и cos x >= 0 имеем

sin x + cos x

 >= 1,

а при sin x 0 и cos x 0 это неравенство становится строгим, то отсюда следует, что неравенство (1) равносильно системе

Ответ. 2n x  /₂ + 2n.

14.10. Данное неравенство означает, что

 /₄ + k = ¹/_{1 + x}^2   /₂ + k.

Если k 0, то левое неравенство не имеет решений, поскольку ¹/_{1 + x}^2  не превосходит единицы. Если k 0, то не имеет решений правое неравенство, так как ¹/_{1 + x}^2  — величина, положительная при всех x. Остается случай k = 0. При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим левое неравенство.

Ответ.

14.11. Так как sin x + cos x = 2 cos (x - /₄), то, обозначив cos (/₄ - x) = y, получим неравенство

Это неравенство равносильно такому:

Так как y не превосходит 1, то 2 - y 0. Поэтому y 3/4 .