Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ.

13.40. Способ 1. Умножив sin^2 x на sin^2 3x + cos^2 3x = 1 и сгруппировав члены, содержащие sin^2 3x, получим

sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin^2 x - sin x +  1/4 ) = 0,

или

sin^2 x cos^2 3x + sin^2 3x(sin x -  1/2 )^2 = 0.

Последнее уравнение эквивалентно системе

Корни первого уравнения найти нетрудно:

x₁ — n, x₂ = /₆ + ⁿ/₃.

Подставляя x₁ во второе уравнение, убеждаемся, что оно удовлетворяется при этих значениях неизвестного. Подставляя во второе уравнение x₂, получим

sin (/₂ + n) [sin (/₆ + ⁿ/₃) - 1/2 ] = 0.

Так как первый сомножитель никогда не обращается в нуль, то последнее равенство можно записать так:

sin (/₆ + ⁿ/₃) = sin /₆.

Воспользовавшись условием равенства синусов (если sin  = sin , то либо  -  = 2k, либо  +  = (2k + 1)), получим

/₃ + ⁿ/₃ = (2k + 1), откуда n = 6k + 2,

и

ⁿ/₃ = 2k, откуда n = 6k

.

Таким образом,

x₁ = n, x₂ = /₆ + 2k, x₃ = ⁵/₆ + 2k.

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

4 sin^2 x - 4 sin x sin^2 3x + sin^2 3x = 0,

т. е.

(2 sin x - sin^2 3x)^2 + (sin^2 3x - sin⁴ 3x) = 0.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то

Из второго уравнения получим: либо sin 3x = 0 и x = ⁿ/₃, либо |sin 3x| = 1 и x = /₆ + ⁿ/₃. Остается отобрать из этих решений те, которые удовлетворяют первому уравнению, что делается так же, как и в первом способе решения.

Способ 3. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно sin x. Тогда

Чтобы уравнение имело действительные решения, необходимо и достаточно потребовать неотрицательности дискриминанта

sin^2 3x (sin^2 3x - 1) >= 0.

Выражение в скобках не может стать положительным. Следовательно, остается лишь две возможности: либо sin^2 3x = 0, либо sin^2 3x = 1. Если sin^2 3x = 0, то, подставляя в первоначальное уравнение, получим sin^2 x = 0, т. е. x = k. Если sin^2 3x = 1, то придем к квадратному уравнению

sin^2 x - sin x +  1/4 = 0, откуда sin x = 1/2 .

Ответ.n; /₆ + 2k; ⁵/₆ + 2k.

13.41. Способ 1. Преобразовав данное уравнение к функциям от ^x

+ y/₂ и ^{x - y}/₂ и дополнив полученное таким образом выражение до полного квадрата, придем к уравнению вида

(2 cos ^{x + y}/₂ - cos ^x - y/₂)^2 + sin^2 ^x - y/₂ = 0.

Это уравнение эквивалентно системе

Решая второе уравнение системы, найдем

^{x - y}/₂ = n,

откуда x - y = 2n, а x = y + 2n.

Подставляя найденное выражение для x в первое уравнение, получим

2 cos (y + n) - cos n = 0.

Число n может быть либо четным, либо нечетным. Если n = 2k, то уравнение примет вид 2 cos y - 1 = 0, откуда cos y =  1/2 .

При n = 2k + 1 получим -2 cos y + 1 = 0, откуда снова cos y = 1/2 . Таким образом,

y = 2m ± /₃, а x = y + 2n = 2(n + m) ± /₃.

В этом случае n + m можно рассматривать как новое целочисленное переменное и записать ответ следующим образом:

Способ 2. Преобразовав уравнение к виду A cos y + В sin y = ³/₂ - cos x, где A = 1 - cos x, В

= sin x (причем A и В не равны нулю одновременно), оценим его левую часть

Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо, чтобы

(1 - cos x)^2 + sin^2 x >= (³/₂ - cos x)^2

или

cos^2 x - cos x +  1/4  = 0,    т. е. (cos x -  1/2 ) = 0.

Так как квадрат некоторого выражения не может быть отрицательным, то cos x = 1/2 , откуда

x = 2n ± /₃.

Чтобы найти y, можно подставить найденные значения x в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что исходное уравнение симметрично относительно x и y. Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим

y = 2m ± /₃.

Остается установить соответствие между найденными значениями x и y, что легко сделать проверкой, так как здесь нужно рассмотреть всего четыре различные возможности. Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению удовлетворяют только две, когда для x и y выбраны одинаковые знаки.

Ответ. x = 2n ± /₃, y = 2m ± /₃; где берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.42. Способ 1. Задача сводится к отысканию таких а и b, при которых равенство

tg x + tg (а - x) + tg x tg (а - x) = b является неабсолютным тождеством. Обозначив tg x = z и tg а = с (в предположении, что а /= /₂ (2n + 1)), получим

Перенеся все в левую часть и приведя к общему знаменателю, получим

Это уравнение относительно z является неабсолютным тождеством тогда и только тогда, когда многочлен, стоящий в числителе, обращается в нуль при всех z, кроме, быть может, одного значения z, обращающего в нуль знаменатель левой части, что равносильно тождественному равенству нулю этого многочлена. Так как условием тождественного равенства многочлена нулю является равенство нулю всех его коэффициентов, то получим с = 1, b

= 1, т. е. b = 1, а = /₄ + k. Случай а = (2n + 1)/₂ приводит к равенству tg x + ctg x = b - 1, которое является неабсолютным тождеством.

Способ 2. Равенство

tg x + tg (а - x) + tg x tg (а - x) = b

должно удовлетворяться тождественно по отношению к x. Положив x = 0, получим, что либо tg а = b, либо tg а не существует, т. е. а = (2n + 1)/₂. Аналогично для x = /₄ получим, что либо tg (а - /₄) = ^b - 1/₂, либо а - /₄ = /₂ + n, т. е. а = ³/₄ + n.

Итак, если а /= (2n + 1)/₂ и а /= ³/₄ + n, то получаем систему, которой должны удовлетворять а и b:

tg а = b,   tg (а - /₄) = ^b - 1/₂.