Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Заменив во втором уравнении b на tg а, перепишем его в виде

откуда tg а = 1. Таким образом, b = 1, а = /₄ + n. Проверим, будет ли при этих значениях а и b равенство, написанное в начале решения, неабсолютным тождеством. После подстановки получим

tg x + tg (/₄ + n - x) + tg x tg (/₄ + n - x) = 1

или

т. е. равенство

являющееся неабсолютным тождеством.

Остается рассмотреть исключенные значения параметра а. Если а = (2n + 1)/₂, то приходим к равенству tg x + ctg x = b - 1, являющемуся неабсолютным тождеством. Когда а = ³/₄ + n, то tg а = -1 и, следовательно, b = tg а = -1. При этом исходное равенство принимает вид

tg x + ctg (x - /₄) + tg x ctg (x - /₄) = -1.

Оно является неабсолютным тождеством, так как при /₄ x /₂ функции tg x и ctg (x -

/₄) положительны, а потому левая часть равенства не может быть равна -1.

Ответ.а = /₄ + n, b = 1.

13.43. Оценим левую часть уравнения:

С увеличением cos^2 2x это выражение растет. Поэтому оно будет достигать своего минимума, когда cos^2 2x = 0. Таким образом, левая часть уравнения не может стать меньше 12,5.

Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то получаем систему

Ответ.

13.44. Представив данное уравнение в виде

sin 2x - sin x cos 2x = ³/₂,

оценим левую часть. Чтобы оценить выражение

A sin 2x + В cos 2x,

его нормируют, т. е. представляют в виде

Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin (2x + ), т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу. В нашем случае A = 1, В = -sin x. Поэтому

Так как левая часть рассматриваемого уравнения не превосходит 2, а правая часть равна 2, что больше 2, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Нет решений.

13.45. Раскроем скобки и произведем перегруппировку членов:

(sin x cos ^x/₄ + cos x sin ^x/₄) - (2 sin^2 x + 2 cos^2 x) + cos x = 0,

т. е.

sin ^5x/₄ + cos x = 2.

Так как sin ^5x/₄ = 1 и cos x = 1, то последнее уравнение равносильно системе

Решения второго уравнения x = 2k подставим в первое уравнение. Выражение sin ^5x/₂ перепишем в виде sin (2k + ^5x

/₂) = sin ^k/₂, откуда следует, что sin ^5x/₄ = 1 лишь при k = 4n + 1.

Ответ.x = 2(4n + 1).

13.46. Введем новое неизвестное

Получим квадратное уравнение относительно y:

корни которого

Обозначим  и подставим в (6) вместо y его выражение (5) через x. Получим следствие исходного уравнения

т. е.

±z^2 + 4z - 5 = 0.    (7)

Решая каждое из квадратных уравнений (7), найдем два действительных корня: z₁ = -5, z₂ = 1. Из них подходит только 2 = 1. Следовательно,

cos (x - /₄) = 1, откуда x = /₄ + 2n.

Остается сделать проверку, которая осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Ответ.x = /₄ + 2n.

13.47. Система уравнений может быть переписана так:

Если cos x = 0, то x = (2k + 1)/₂ и, следовательно, cos 7x = 0. Поэтому первое уравнение равносильно уравнению cos 7 x = 0, т. е.

2 cos^2 ^7x/₂ = 1    и    cos^2 ^7x/₂ = 1/2 .

Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos^2 ^x/₂ = 1/2 . Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем

в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений

cos ^x/₂ = ±¹

/₂, т. е. cos^2 ^x/₂ = 1/2 ,

откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)/₂. Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| 5.

Ответ.x = ±/₂, ±³/₂.

13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = ^{sin x}/_{cos x}, tg^2 x = ¹/_cos^2 x- 1, а cos x /= 0:

Для правой части уравнения получим

При cos x /= 0 и дополнительном ограничении cos 2x /= 0 приведем исходное уравнение к виду

2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos ^6x/₅.

Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x - sin x) и уравнение примет вид

sin 3x = cos ^6x/₅ + 2.

Такое возможно лишь при условии, что одновременно

cos ^6x/₅ = -1, а sin 3x = 1.

Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:

Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos ^6x/₅ = -1 найдем, что

^6x/₅ = (2k + 1),   т. е.   x = 5(2k

+ 1)/₆.

Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку

3x = 5(2k + 1)/₂ = 5k + 5/₂,

то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.

При k = 2n, т. е. k — четном

3x = 10n + 5/₂ = 10n + 2 + /₂.

Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin /₂ = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то

3x = 5(2n + 1) + 5/₂ = 10n + 5 + 2 + /₂ = 10n + 4 +  + /₂,

т. е. sin 3x = -1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.

Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)/₆. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)

Перейдем к ограничению cos x /= 0. Преобразуем выражение для x: