Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Проверкой убеждаемся, что  удовлетворяет первоначальному уравнению. B самом деле, подставляя x₁ в это уравнение, получим  что выполняется одновременно с равенством  так как x >= 0. Значение х₁ было найдено из уравнения  Поэтому можно осуществить в полученном нами равенстве соответствующую замену:

a - 1 - x₁ = x₁^2.

Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого определили х₁, то проверку можно считать законченной.

Ответ.x = 0, если а = 0, и  если а >= 1.

9.9. Перенесем  в правую часть уравнения:

и возведем обе части в квадрат. Получим

откуда при а /= 0

Делаем проверку, подставляя найденное значение x в данное уравнение. B левой части получим

Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть четыре различных случая, так как значения -1, 0, +1 параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала. Однако легко заметить, что а 0, так как разность, стоящая в левой части исходного уравнения, всегда положительна. Следовательно, остается рассмотреть только два случая.

Если 0 а = 1, то

Если же а 1, то

Число ¹/_а равно числу а только при а = ±1, а по предположению а 1.

Ответ. если 0 а = 1.

9.10. Рассмотрим два случая.

Если 2x^2 - 3x - 2 >= 0, т. е. x = - 1/2 , x >= 2, получим уравнение

4х^2 + 5х - 2(1 + ) = 0.

Корни этого уравнения  должны лежать вне интервала (- 1/2 , 2).

Неравенство

удовлетворяется при  >= -⁵⁷/₃₂. Больше двух этот корень быть не может.

Для x₂ нужно решить два неравенства:

Первое выполняется при -⁵⁷/₃₂ =  = -⁷/₄, а второе — при  >= 12.

Пусть теперь 2x^2 - 3x - 2 0, т. е. - 1/2 x 2. Данное уравнение станет линейным и мы найдем

x₃ = ^{2( - 1)}/₁₁.

Решим неравенство

- 1/2 ^{2( - 1)}/₁₁  2

и получим

-⁷/

₄   12.

Итак, при  = -⁵⁷/₃₂ корни х₁ и х₂ совпадают, а корень х₃ не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение x = -⁵/₈. Если -⁵⁷/₃₂   = -⁷/₄, то уравнение имеет два решения: х₁ и х₂ (которые, очевидно, различны); если -⁷/₄   = 12, то х₁ и х₃; а если  >= 12, то два решения: х₁ и х₂.

Корни х₁ и х₃ различны, так как - 1/2   х₃ 2, а х₁ лежит вне этого интервала.

Ответ.  = -⁵⁷/₃₂.

9.11. Если x >= 0, y >= 0, то получим систему

Если x >= 0, y = 0, то

Если x = 0, y >= 0, то

Если x = 0, y = 0, то

Каждое из четырех решений удовлетворяет записанным ограничениям.

Ответ. (2, 1); (0, -3); (-6, 9); (0, -3).

9.12. Исключая последовательно y и x, найдем

x = ^k + 16/₇, y = ^{8 - 3k}/₇.

Остается решить систему неравенств

Первое неравенство равносильно такому:

(k

+ 8 + 71 )(k + 8 - 71 )k 0.

Приходим к системе

Так как -8 + 71 ⁸/₃, то условию задачи удовлетворяют два интервала.

Ответ. -8 - 71  k 0; -8 + 71  k ⁸/₃.

9.13. Если x >= -у и x >= y, то получим системы

которая при x >= -у и x >= y имеет решение

x >= ^|a|/₂, y = ^а/₂

при условии а = -b.

Если x >= -у, но x = y, то

Из условия x >= -у находим -^b/₂ >= -^а/₂, а из второго условия: -^b/₂ = ^а/₂. Оба этих неравенства соответствуют условию а >= |b|.

Если x = -у, а x >= y, то

Подставляя найденные значения x и y в ограничения, получим b >= |а|.

Наконец, если x = - у, x = y, получим

Это значит, что а = b. Так как y >= x, но y = -х, то -x >= 0. Окончательно получим при

а = b >= 0

x = -^а/₂, -^а/₂ = y = ^а/₂.

Ответ. При а = -b, x >= ^|а|/₂, y = ^а/₂; при а >= |b|, x = -^b/₂, y = ^а/₂; при b >= |a|, x = -^а/₂, y = -^b/₂; при а = b >= 0, x = -^а/₂, -^а/₂ = y = ^а/₂.

9.14. Уравнение x^2 + y^2 = а при а 0 не имеет решений. Если а >= 0, то это — уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Второе уравнение определяет стороны квадрата, диагонали которого равны 2 и расположены на осях координат (рис. P.9.14).

При увеличении а окружность будет увеличиваться и сначала окажется вписанной в квадрат, затем пересечет его в восьми точках и, наконец, будет описана около квадрата.

Итак, если а ²/₂, то система не имеет решений.

Если а = ²/₂, т. е. а = 1/2 , получим четыре решения: x = 1/2 , y =  1/2 и три симметричных: (- 1/2 , 1/2 ), (- 1/2 , - 1/2 ), ( 1/2 , 1/2 ).

Если  1/2 а 1, то восемь решений. Мы найдем их, возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью второго уравнения, что |x

| · |y| = ^{1 - a}/₂. B результате придем к системе

которая при положительных x и y имеет два решения:

К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

Если а = 1, то y системы четыре решения: x₁ = 1, y₁ = 0; x₂ = 0, y₂ = 1; х₃ = -1, у₃ = 0; х₄ = 0, у₄ = -1. При а 1 решений нет.

9.15. Если либо x = 0, либо y = 0, то второе неизвестное тоже равно нулю. Получаем очевидное решение

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если ху /= 0, то можно первое уравнение разделить на ху, а второе — на x^2y^2. Получим систему

Введем обозначения:

x + ¹/_x = u, y + ¹/_y = v.

Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим x^2 + ¹/_x^2 = u^2 - 2, y^2 + ¹/_y^2 = v^2 - 2.

Система примет вид

Решая ее, найдем: u₁ = 4, v₁ = 14; u₂ = 14, v₂ = 4. (Если первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым, то получим uv = 56.) Остается решить две системы:

в результате чего получим восемь решений.

Ответ. (0, 0); (2 + 3, 7 + 43); (2 + 3, 7 - 43); (2 - 3 , 7 + 43 ); (2 - 3, 7 - 43 ); (7 + 43 , 2 + 3); (7 + 43, 2 - 3); (7 - 43, 2 + 3); (7 - 43, 2 - 3).