Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Тангенс угла наклона прямых (19) равен а и все эти прямые проходят через точку А(−5; 4). Обозначим на графике точки В(−2; 0), С(−1; 2), D(3; 2), E(4; 0), а также точки G и H, расположенные на левом и правом лучах графика (11) соответственно. Соединим точку А(−5; 4) с точками /(−2; 0), С(−1; 2), 1(3; 2) и E(4; 0). Проведем через точку А прямые AG₁ || EH. Обозначим на каждой из проведенных нами через точку А прямых ее угловой коэффициент а: для AC имеем а = −2, для AB, AC, AE, AD и AH₁ соответственно а принимает значения: −⁴/₃, −½, −⁴/₉, ¼, 2.

Теперь нетрудно подсчитать, при каких а какие решения имеет данное в условии уравнение. Получим

одно решение x₁ при а < −2;

решений нет при −2 ≤ а < −⁴/₃;

одно решение x₁ = x₂ при а = −⁴/₃;

два решения x₁, x₂ при −⁴/₃ < а < −½;

два решения x₁, x₂ = x₃ при а = −½;

два решения x₂, x₃ при −½ < а < −⁴/₉;

три решения x₁, x₃, x

₄ = x₅ при а = −⁴/₉;

четыре решения x₁, x₃, x₄, x₅ при −⁴/₉ < а < −¼;

три решения x₁, x₃ = x₄, x₅ при а = −¼;

два решения x₁, x₅ при −¼ < а < 2;

одно решение x₁ при а ≥ 2.

Замечание: при а = −2 решений нет, а при а = 2 есть единственное решение x₁, которое при а = 2 существует.

9.36. После возведения в квадрат и приведения подобных можно утверждать, что уравнение равносильно системе

Дискриминант уравнения (20) равен 4a² + 12a + 9 = (2a + 3)². Он неотрицателен. Уравнение имеет один корень x = 3a при а = −³/₂ и два корня x_1,2 = 3a ± |2a + 3| при остальных а.

Если а = −³/₂, то x = −⁹/₂. При этих значениях а и x неравенство (21) удовлетворяется.

Пусть а < −³/₂. Тогда |2a + 3|= −2a − 3, т. е. x₁ = 5а + 3, x₂ = а − 3. Для каждого из этих корней решим неравенство (21) и учтем ограничение а < −³/₂

. Пусть сначала x₁ = 5а + 3, тогда:

Решением последней системы будет а < −³/₂, т. е. корень x₁= 5а + 3 существует при всех а < −³/₂.

Пусть теперь x₂ = а − 3, тогда:

Итак, корень x₂ = а − 3 существует при всех а < −³/₂.

Таким образом, при а < −³/₂ исходное уравнение имеет два корня x₁ = 5а + 3 и x₂ = а − 3.

Аналогично исследуется случай а < −³/₂. При этом |2a + 3| = 2a + 3 и соответственно x₁ = 3a − (2a + 3); x₂ = 3a + (2a + 3) = 5а + 3. Подставляем эти значения в (21). Для x₁ = а − 3 получим:

Аналогично для x₂ = 5а + 3 имеем:

Итак, x₁ = а − 3 будет корнем исходного уравнения, когда

−³/₂ < а ≤ 3 и а ≥ 12.

x₂ = 5а + 3 будет корнем, когда −³/₂ < а ≤ −¹²/₁₇; а ≥ −⁵¹/₈₅.

Обобщим результаты на числовой оси а (рис. P.9.36).

Ответ. При a ∈ (−∞, −³/₂) ∪ (−³/

₂, −¹²/₁₇) ∪ (−⁵¹/₈₅, 3) ∪ [12, +∞)  уравнение имеет два корня: x₁ = 5а + 3, x₂ = а − 3. При а = −3 имеет один корень x = 3a = −⁹/₂. При а ∈ (−¹²/₁₇, −⁵¹/₈₅) уравнение имеет один корень x = а − 3, а при а ∈ (3, 12) — один корень x = 5а + 3.

9.37. Уравнение можно записать в виде

x(^5x/_5x² − 7x + 6 + ^2x/_5x² − x + 6 − 1) = 0.

При x = 0 множитель в скобках существует и равен −1. Поэтому x = 0 — корень данного уравнения. Другие корни должны быть корнями уравнения

^5x/_5x² − 7x + 6 + ^2x/_5x² − x + 6 = 1.   (22)

В знаменателях стоят симметрические многочлены. Значение x = 0 не является корнем (22) и выражение (22) не теряет при этом значении смысла. Поэтому разделим числители и знаменатели каждой дроби на x:

Проведем замену

t = 5х + ⁶/_x.    (23)

Тогда

⁵/_t − 7 + ²/_t − 1 = 1.    (24)

Дальше решение стандартно. Уравнение (24) имеет корни t₁ = 13 и t₂ = 2. Подставляя их в (23), найдем для t₁ значения x₂ = 2, x₃ = ³/₅. Для t₂ решений нет.

Ответ.

0; 2; ³/₅.

9.38. Пусть x + y = u, xy = v. Тогда получим

Во второе уравнение подставим u² = v + 327:

(327 − v)² − v² = 84 693,

или

327² − 2 · 327v = 84 963.

Так как 84 693 = 327 · 259, то сократим уравнение на 327 и найдем v = 34, u² = 361.

Остается решить две системы:

Ответ. (2, 17), (17, 2), (−2, −17), (−17, −2).

Глава 10

Алгебраические неравенства

Ответы к упражнениям на с. 59, 62 и 63.

1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые решения.

2. Получим систему неравенств, не имеющую решений.

3. Ответ. −1 < x ≤ 1, 5 < x ≤ 7, x > 8.

4. Вначале нужно переписать неравенство в виде

(x − ⁵/₂)(zx − 3)(x − 4)² ≤ 0.

Последний множитель показывает, что точка 4 обязательно должна принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.

Ответ.⁵/₂ ≤ x ≤ 3, x = 4.

5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому:

(x + 3)²(x + 1)(x − 2)(x − 4)²(x − 5) < 0.

Достаточно решить неравенство

(x + 1)(x − 2)(x − 5) < 0

и исключить, если они попали в множество решений, точки x = −3, x = 4.

Ответ.x < −3, −3 < x < −1, 2 < x < 4, 4 < x < 5.

6. 0 ≤ ax² + bх + с < 9.

7.ax² + bх + с ≥ 9; здесь не нужно заботиться о знаке подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат получаем неравенство, из которого следует, что это выражение положительно.

8.

(см. пример 4 на с. 62).