Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

10.24. При x > 0 правая часть неравенства положительна, так как в этом случае  Возведем обе части неравенства в квадрат; получим систему

Последнее неравенство системы — следствие того, что x > 0. Перенесем во втором неравенстве 1 + x в левую часть и произведем некоторые упрощения. Получим систему

Так как x > 0, то второе неравенство можно возвести в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений (убедитесь в этом самостоятельно):

^{121x² + 198x + 81}/_4x² + 36x + 81 > 1 + 2x.

Умножим неравенство на знаменатель, который при x > 0 положителен; после приведения подобных получим систему

Итак, в первом случае неравенство имеет решения: 0 < x < ⁴⁵/₈.

При x = 0 данное неравенство не удовлетворяется.

Если же x < 0, то, умножив обе части на −1, придем к неравенству

Проделав с этим неравенством преобразования, аналогичные случаю, когда x > 0, придем к выводу, что оно не имеет решений при отрицательных x.

Ответ. 0 < x < ⁴⁵/₈.

10.25. Перепишем данное неравенство в виде

т. е.

Обозначив выражение, стоящее в скобках, через y, получим квадратное неравенство

y² + y − 42 < 0,

которое имеет решения: −7 < y < 6. Итак,

Поскольку сумма  всегда положительна, то достаточно решить лишь правое неравенство:

После возведения в квадрат получим неравенство

равносильное исходному, так как корни √x и  здесь не устранены. (Заметьте, что, заменив выражение √x  на  мы могли нарушить равносильность.) После второго возведения в квадрат придем к системе

Ответ. 0 ≤ x < ⁸⁴¹/₁₄₄.

10.26. Неравенство удобно переписать в виде

Оно равносильно совокупности двух систем

Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем −|а| ≤ x ≤ |а|.

Так как в первой системе x > 0, то для нее получим решения:

0 < x ≤ |а|, а ≠ 0.

Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство, получим

−^|а|/_√5 < x < ^|а|/_√5.

Мы приходим к системе

решениями которой будут значения из интервала −^|а|/_√5 < x ≤ 0  при а ≠ 0. Остается объединить решения двух систем.

Ответ. При а ≠ 0: −^|а|/_√5 < x ≤ |а|; при а = 0 неравенство не имеет решений.

10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство, к основанию 2 и поделим на 2^√x 2^x:

2^{x − √x} ≤ 3 + 4 · 2^√x − x;

обозначив 2^{x − √x} = y, получим

y ≤ 3 + ⁴/_y,

а так как y > 0, то

y² − 3y − 4 ≤ 0.

Корни трехчлена: −1, 4; так как меньший корень отрицателен, то получаем

2^{x − √x} ≤ 4,

т. е. x − √x ≤ 2. Обозначим √x = z

и найдем решения неравенства

z² − z − 2 ≤ 0.

Получим −1 ≤ z ≤ 2. Левое неравенство выполняется, если только √x существует. Остается √x ≤ 2, т. е. 0 ≤ x ≤ 4.

Ответ. 0 ≤ x ≤ 4.

10.28. Перепишем неравенство в виде

3^√x(3 + x − 2x²) − 2(−2x² + x + 3) < 0,

или

(3^√x − 2)(−2x² + x + 3) < 0.

Последнее неравенство[20] равносильно совокупности систем

Решая первую систему, получим

Так как −1 <  < = 1 < ³/₂, то окончательно получим x > ³/₂.

Вторая система дает нам следующее:

Ответ.

10.29. Если x > 0, то неравенство равносильно такому:

^{(x − 1)2x − 1}/_{3 − x} < 0, т. е. ^(x − 1)(x − ½)/_x − 3 > 0.

Воспользовавшись методом интервалов, получим ½ < x < 1, x > 3. Если x = 0, то левая часть неравенства обращается в выражение 0^−⅓ , которое не имеет смысла.

При x < 0 показатель степени должен быть целым числом, т. е. ^2x − 1/_{3 − x}, откуда x(2 + n) = 3n + 1. Так как при

n = −2 последнее уравнение не удовлетворяется, то

x = ³ⁿ + 1/_{2 + n}.

Из условия x < 0 находим x = ³ⁿ + 1/_{2 + n} < 0 и, следовательно, −2 < n < −⅓. Единственное целое число в этом интервале n = −1, а соответствующее ему значение неизвестного x = −2. Проверяем это значение, подставляя его в первоначальное неравенство: (−2)⁻¹ < 1.

Ответ.x = −2, ½ < x < 1, x > 3.

10.30. Предположим, что основание больше единицы, т. е. 4x² + 12x + 10 > 1, или (2x + 3)² > 0. Это имеет место при всех x, кроме x = −³/₂. При x = −³/₂ основание равно единице, и, следовательно, исходное неравенство удовлетворяется. Если же x ≠ −³/₂, то оно равносильно неравенству

|х³ − 5х + 2| ≥ x − 2,

которое заведомо удовлетворяется при x − 2 ≤ 0, т. е. при x ≤ 2. Пусть теперь x > 2. Разложим трехчлен на множители:

|х³ − 5х + 2| = |х³ − 4x − (x − 2)| = |x − 2| |х² + 2x − 1| = (x − 2)|х

² + 2x − 1|.

Так как x > 2, то получаем равносильное неравенство

|х² + 2x − 1| ≥ 1,

а поскольку x² + 2x − 1 = x² + 2(x − ½) > 0, то

х² + 2x − 1 ≥ 1, или x² + 2(x − 1) ≥ 0.

Последнее неравенство удовлетворяется при любом x > 2.

Ответ.x − любое действительное число.

10.31. Так как x > 0, то вместо неравенства

можно написать

Если а > 1, то при логарифмировании по основанию а знак неравенства не изменится:

(log_а x)² > 2,

откуда log_a x < −√2,  log_a x > √2, т. е.

Если 0 < а < 1, то (log_a x)² < 2 и

Ответ. При 0 < a < 1,  при а > 1,  x > a^√2.

10.32. Если x > 0, то получаем неравенство, равносильное данному:

откуда 0 < x < 1.

Значение x = 0 удовлетворяет исходному неравенству. Если же x < 0, то непременно

^{5x + 2}/_5x + 10 =n,

где n — целое. Из условия x < 0 находим

x = ¹⁰ⁿ − 2/_{5 − 5n} < 0,