Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x³ + y³ + z³, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u³ = x³ + y³ + z³ + 3uv − 3w    (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а³ + b³ + с³ через u, v и w:

u³ = а³ + b³ + с³ + 3uv − 3(w − d).   (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x³ + y³ + z³ = а³ + b³ + с³ + 3d.

Ответ.а³ + b³ + с³ + 3d.

9.20. Умножив первое уравнение на ху²z², а второе — на x²уz², получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x − y) = 0.

Так как z ≠ 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = ¹/_x³. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х⁴ + 1 = 0.   (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)² = ^x²y²/₄.

Подставим в первое уравнение

x⁴ + y⁴ = ¹⁷/₄x²y², т. е. (x² − y²)² = ⁹/₄x²y²,

откуда

x² − y² = ±³/₂ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x² − y² = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x − y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если x − y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x − 3, придем к уравнению x² − 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x₂ = 1, y₂ = −2;

x₃ = 6, y₃ = 3.

Если же x − y = −3, то аналогично получим

x₄ = −2, y₄ = 1;

x₅ = 3, y₅ = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, −2); (6, 3); (−2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 − t = 0 и 5 − 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z − t ≠ 0, z ≠ 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = ^{5 − 2t}/_{2 − t},  z = ^{14 − 5t}/_{5 − 2t}.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t² − 4t + 3 = 0, т. е. t₁ = 1, t₂ = 3.

Итак, z₁ = 3, z₂ = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. (½, ½, 3, 1) (½, ½, 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху − 3хz + 6уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у²:

2ху − 4у² + 6уz = 54, или ху − 2у² + 3уz = 27.  (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y[17], получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x₁ = 3, z₁ = 4; x₂ = 12, z₂ = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u³ = (u + 2)(

u² − 9),

а после упрощения

2u² − 9u − 18 = 0,

откуда u₁ = 6, u₂ = −³/₂.

Для первого значения u находим x³ = 8, y³ = 3, z³ = 9, аналогично поступаем с u₂. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x₁ + x₂ + ... + x_n = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

x_k(s − x_k) + k(k + 1)s² = (2k + 1)²а²,

или

x_k² − sx_k − k(k + 1)s² + (2k + 1)²a² = 0,

откуда

Возьмем для всех x_k знак минус и составим сумму х₁ + ... + x_n. Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s > 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для x_k и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x − 11у = u, т. е. 7(x + y) − 18у = u, откуда x + y = ^и + 18y/₇

, а x + 9у = (x + y) + 8у = ^и + 74y/₇.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x₁ = y₁ = 0.

Если u ≠ 0, то получаем уравнение

откуда u₁ = ⅓, u₂ =  −⅓, u₃ = 2, u₄ = −2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (¹⁰/₂₄₃, −¹/₂₄₃); (−¹⁰/₂₄₃, ¹/₂₄₃); (5, 3); (−5, −3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим

т. е.

(а − x)(b − x) = x², или (а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab ≠ 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = −x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b ≠ 0, то x = ^ab/_a + b.