Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Пусть а + 2d = 0. Если а + d = 3, то d = −3, а = 6. Получим число 630. Если а + d = 6, то d = −6, а = 12, что невозможно.

Пусть теперь а + 2d = 5. Когда а + d = 3, получим d = 2, а = 1, что даст число 135. Когда а + d = 6, получим d = −1, а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все возможности исчерпаны, задача решена.

Ответ. 630; 135; 765.

19.12. Задачу можно решить, обозначив через x цифру единиц, а через q знаменатель прогрессии. Используя условия задачи, мы придем к двум уравнениям:

100xq² + 10xq  + x − 594 = 100x + 10xq + xq², (x + 1) + (xq² + 1) = 2(xq + 2).

Первое уравнение можно переписать в виде

x(q² − 1) = 6,

а второе — в виде

x(q² − 2q + 1) = 2,   т. е. x(q − 1)² = 2.

Деля первое уравнение на второе, получим

^{q + 1}/_q − 1 = 3,   q = 2.

Следовательно, x = 2.

Задачу можно решить перебором, если воспользоваться тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию, причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594). Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842, 931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить, так как 931 − 594 ≠ 139 и 964 − 594 ≠ 469. Остается убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.

Требование, чтобы числа x + 1, хq + 2, хq² + 1 образовывали арифметическую прогрессию при таком решении, оказывается лишним.

Ответ. 842.

19.13. Пусть в колхозе было n комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за x ч непрерывной работы, а при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле y ч. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 ч, а производительность одного комбайна ¹

/_x, то

²⁴/_x n = 1,   т. е. 24n = x.

Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали п¹/_xy часть всей работы. Кроме этого, первый комбайн работал n − 1 ч, второй n − 2, а (n − 1)−й работал один час. Учитывая все это, получим уравнение

^{n − 1}/_x + ⁿ − 2/_x + ... + ¹/_x + n¹/_xy = 1,

или

^{n − 1}/₂n + ny = x.

Так как x = 24n, то из этого уравнения можно выразить y через n:

y = 24 − ⁿ − 1/₂.

Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения

(n + y − 7)(n − 5)¹/_x = 1.

Подставляя вместо x и y их выражения через n, придем к квадратному уравнению

( n + 17 − ⁿ − 1/₂)(n − 5) = 242n,

т. е. n² − 18n − 175 = 0.

Решая это уравнение, найдем n₁ = 25, n₂ = −7. Второй корень не имеет смысла.

Ответ. 25.

19.14. Пусть братьям a

, aq и aq² лет. Тогда они получат соответственно x, xq и xq² p.

Через 3 года им будет a + 3, aq + 3 и aq² + 3 лет, причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:

aq² + 3 = 2(a + 3).  (1)

При дележе через 3 года младший брат получит x + 105, средний xq + 15. Чтобы узнать, сколько получит старший брат, вычтем эти деньги из всей суммы:

x + xq + xq² − (x + 105) − (xq + 15) = xq² − 120.

Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то получим еще два уравнения:

Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:

2(x + 105) = xq² − 120,

т. е.

x(q² − 2) = 330. (3)

Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки a, то

a(q² − 2) = 3.   (1′)

Сравним с уравнением (3):

x = 110a.

Первое из уравнений (2) можно переписать так:

(110a + 105)(aq + 3) = (110aq + 15)(a + 3), т. е. 5aq − 7a = 6.

Решим его совместно с уравнением (1′):

Из первого уравнения а = ⁶/_5q − 7. Подставим во второе. После преобразований получим квадратное уравнение

6q² − 15q + 9 = 0,

откуда q₁ = ³/₂ , q₂ = 1.

Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям одинаковое количество лет и никто из них не может через 3 года стать вдвое старше другого.

Ответ. 12, 18, 27.

19.15. Пусть а, b, с и а

², b², с². Другими словами, 2b = а + с и b⁴ = а²с². Если первое уравнение возвести в квадрат

4b² = а² + 2aс + с²,

а второе записать в виде b² = |ac|, то, сравнивая левые части этих равенств, найдем

а² + 2aс + с² = 4|ac|.

Если а и с одного знака, получаем уравнение

а² − 2aс + с² = 0,    т. е.    (а − с)² = 0,

откуда а = с. Следовательно, а² = с² и знаменатель прогрессии а², b², с² равен 1. Если а и с разных знаков, получаем уравнение

а² + 6ас + с² = 0.

Разделим на а² (по условию а ≠ 0) и решим уравнение

(^c/_a)² + 6^c/_a + 1 = о

относительно ^c/_a:

^c/_a = −3 ± √8.

Так как ^c²/_a² = q², то

q² = (−3 ± √8)².

Числа а², b² и с², образующие геометрическую прогрессию, положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из последнего уравнения

q

_2,3 = 3 + √8.

Ответ. 3 − √8; 1; −3 + √8.

19.16. При n = 1 формулы верны:

Предположим, что эти формулы верны для n = k, и докажем, что они верны для n = k + 1:

Так как  то предел последовательности равен a + ⅔(b − a) = ^{a+ 2b}/₃.

Ответ. ^{a + 2b}/₃.

19.17. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

(8a − 3)x + (14a + 5)x = 2kπ, (14a + 5)x − (8a − 3)x = 2nπ,

или

(11a + 1)x = kπ, (3a + 4)x = nπ.

Так как по условию a > 0, то 11a + 1 ≠ 0 и 3a + 4 ≠ 0. Поэтому

x_k = ^kπ/_11a + 1, x_n = ⁿπ/_3a + 4.

Значения x_k и x_n при k, n = 0, 1, 2, ... (по условию x ≥ 0) образуют две прогрессии с разностями

d₁ = ^π/_11a + 1, d₂ = ^π/_3a + 4