Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

оказывается неравносильной первоначальной системе. Неравенство (15) является следствием системы (13), (14), но заменять им произвольное из исходных неравенств мы не имеем права. Система (13), (15) имеет решение v ≤ ⁴/₃₅, в то время как решение первоначальной системы v = ⁴/₃₅.

Ответ. 16 ч 15 мин.

18.18. Пересылка одной детали в каждом из трех комплектов обходится соответственно в ²/₇, ¼ и ⁷/₂₅ p., т. е. после приведения к общему знаменателю: ²⁰⁰/₇₀₀, ¹⁷⁵/₇₀₀, ¹⁹⁶/₇₀₀ p. Самой дешевой оказывается пересылка в комплектах по 40 деталей. Однако 1100 на 40 не делится и поэтому придется заказывать не только самые выгодные комплекты. Чтобы потерять как можно меньше, мы будем постепенно отказываться от самых выгодных условий, т. е. рассмотрим случаи, когда в комплекты по 40 штук укомплектованы 1080, 1040, 1000, 960, 920, ... деталей. Первый и второй случаи оказываются неосуществимыми, так как мы не сможем получить оставшиеся детали в надлежащих комплектах. Третий случай вполне допустим: он предполагает, что прибудет 25 комплектов по 40 деталей и 4 комплекта по 25 деталей. Таким образом, пересылка обойдется в 25 · 10 + 7 · 4 = 278 p. Любой другой вариант, как легко видеть, приведет к бо́льшим расходам, поскольку количество самых выгодных комплектов уменьшится за счет увеличения количества менее выгодных комплектов (по 25 деталей) или за счет появления самых невыгодных комплектов (по 70 деталей).

Ответ. 25 комплектов по 40 деталей и 4 комплекта по 25 деталей.

Глава 19

Последовательности и прогрессии

19.1. Сравним n−й и (n + 1)−й члены последовательности (здесь V — знак сравнения):

или после упрощений:

Так как

(^{n + 1}/_n)ⁿ = (1 + ¹/_n)ⁿ = 1 + n · ¹/_n + ...,

где многоточиями обозначены некоторые положительные члены, то

(^{n + 1}/_n)ⁿ > 2 при n > 1.

Следовательно, последовательность убывающая, начиная со второго члена.

19.2. Так как а_p, а_q, а_r и а_s — члены арифметической прогрессии, то

a_q − a_р = d(q − p), a_r − a_q = d(

r − q), a_s − a_r = d(s − r).

Кроме того, a_рa_r = a_q², a_qa_s = a_r², a_pa_s = a_qa_r, что отражает условие, в силу которого a_р, a_q, a_r и a_s образуют геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем

Составим произведение (p − q)(r − s) и воспользуемся второй группой формул:

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

19.3. По условию

a = a₁ + d(m − 1) = u₁q^{m − 1}, b = a₁ + d(n − 1) = u₁q^{n − 1}, c = a₁ + d(p − 1) = u₁q^{p − 1}.

Составим разности:

b

− с = d(n − p), с − а = d(p − m), а − b = d(m − n).

Подставим в левую часть равенства, которое нужно доказать:

После несложных преобразований получим в обоих показателях нули, что и доказывает равенство произведения единице.

19.4. Перейдем в левой части равенства к общему основанию x и сделаем некоторые упрощения:

В последнем равенстве мы воспользовались тем, что ^b/_a = ^c/_b = q — знаменателю прогрессии, а также тем, что 

19.5. Имеем

Ответ.

19.6. Преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

После извлечения квадратного корня получим

19.7. Из условия следует, что

а следовательно, (а₁ − a₃)² = 0, а₁ = а₃. Поскольку , то а₂ = а₁. Таким образом, а₁ = а₂ = а₃. Решим теперь систему уравнений

Первое уравнение можно последовательно преобразовать:

Подставив найденное значение x во второе уравнение системы, получим

Теперь можно найти x:

x = −2 log₂ y = ½ log₂ 5.

Ответ.

19.8. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда по теореме Виета

x₁(1 + q) = 3, x₁q²(1 + q) = 12, x₁²q = A, x₁²q⁵ = B.

Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе) находим q² = 4.

Так как последовательность по условию является возрастающей, то q = 2, откуда x₁ = 1, что не противоречит тому, что прогрессия возрастающая.

Из двух вторых уравнений определяем А и В.

Ответ.А = 2, В = 32.

19.9. Пусть x₂ = x₁q, x₃ = x₁q². Тогда по теореме Виета, примененной к данному уравнению, имеем

x₁ + x₁q + x₁q² = 7,    x₁²q + x₁²q² + x₁

²q³ = 14.

Из первого уравнения получим x₁(1 + q + q²) = 7. Это позволяет следующим образом преобразовать левую часть второго уравнения:

x₁²q(1 + q + q²) = 7x₁q,

откуда x₁ = ²/_q. Подставим выражение для x₁ в первое уравнение, получим

^{2(1 + q + q²)}/_q = 7,  т. е.  2q² − 5q + 2 = 0,

откуда

q₁ = ½, q₂ = 2.

Теперь для каждого из этих двух значений q можно найти x₁. При q = 1 получим, что x₁ = 4, т. е. прогрессия убывающая. Во втором случае при q = 2 имеем x₁ = 1, и прогрессия — возрастающая.

Ответ. 1, 2, 4.

19.10. Из условия следует, что

Произведение n первых членов прогрессии равно

Ответ. √2.

19.11. Пусть а — цифра сотен, d — разность прогрессии. Искомое число делится на пять, если его последняя цифра либо 0, либо 5, т. е. либо а + 2d = 0, либо а + 2d = 5. Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три возможности:

а + (а + d) + (а + 2d) = 9; 18; 27.

Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999 не делится на пять.