Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

и первыми членами, равными нулю. Числа x_k и x_n, расположенные в порядке возрастания, составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда их разности кратны, т. е. либо d₂ = d₁m при d₁ ≤ d₂, либо d₁ = d₂m при d₂ ≤ d₁ (m — натуральное число). Пусть, например, d₁ ≤ d₂. Тогда d₁ — второй член новой прогрессии (первый ее член равен нулю) и d₁ — разность этой прогрессии. Однако число d₂, являясь членом второй прогрессии, также должно войти в новую прогрессию. Поэтому d₂ = 0 + d₁m = d₁m. Обратно, если d₂ = d₁m и d₁ ≤ d₂, то x_n = d₂n = d₁mn, т. е. каждый член второй прогрессии является членом первой прогрессии. Аналогичное доказательство может быть проведено для случая d₂ ≤ d₁.

Итак, для d₁ ≤ d₂ имеем

Так как m — натуральное, то 4m − 1 > 0. В свою очередь

а > 0, а потому 11 − 3m > 0 и m < ¹¹/₃. Получаем три возможных значения m — 1, 2, 3 и соответствующие им значения а = ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Для d₂ ≤ d₁ получим

При натуральном m разность 11m − 3 положительна, а так как а > 0, то 4 − m > 0 или m < 4. Каждому из трех возможных значений m = 1, 2, 3 будет соответствовать свое значение а = ³/₈, ²/₁₉, ¹/₃₀.

Ответ.¹/₃₀, ²/₁₉, ³/₈, ⁷/₅, ¹¹/₂.

Глава 20

Суммирование

20.1. Докажем, что

S = ½ + ... + ¹/_n² < 1.

Так как

¹/_{(1 + k})² < ¹/_k(1 + k),

то

При доказательстве мы воспользовались тем, что

¹/_(n − 1)n = ¹/_n − 1 − ¹/_n.

Такой прием часто применяется и называется разложением дроби на простейшие.

20.2. Так как

то

Ответ.ⁿ − 1/_d²n.

20.3. Представим k−e слагаемое в виде

Тогда

Ответ.

20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде

воспользовавшись для этого формулой суммы членов геометрической прогрессии. Тогда (поскольку а ≠ 1)

Правая часть может быть записана так:

Итак,

По условию а ≠ 0, 1, −1. Это позволяет найти нужную нам зависимость.

Ответ.n + 1 = 2^k + 1.

20.5. Расположим коэффициенты данного многочлена слева направо и разместим под ними коэффициенты того же многочлена, расположенные в обратном порядке,

Теперь можно выписать коэффициент при xⁿ, составив сумму попарных произведений расположенных один под другим множителей:

1 · n + 1(n − 1) + 2(n − 2) + 3(n − 3) + ... + (n − 1)1 + n · 1.

Эту сумму можно преобразовать так:

Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать:

Таким образом, искомый коэффициент равен

Ответ.

20.6. Неравенство равносильно системе (в левой его части — абсолютная величина суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем — 2x):

Из второго неравенства следует, что −1 < 2x < 1, т. е. 1 + 2x > 0. Поэтому первое неравенство можно переписать в виде

^|x|/_{1 + 2x} < 1, или |x| < 1 + 2x.

Таким образом, приходим к системе

которая равносильна совокупности двух систем

Ответ. −⅓ < x < ½.

20.7. Так как k · k! = (k + 1)! − k!, то

2! − 1! + 3! − 2! + 4! − 3! + ... + (n + 1)! − n! = (n + 1)! − 1.

Ответ. (n + 1)! − 1.

20.8. Домножим S_n на x²:

x²S_n = x³ + 4x⁵ + 7x⁷ + ... + (3n − 2)x

²ⁿ + 1,

и вычтем полученное выражение из S_n:

Ответ. 

20.9. Рассмотрим тождество[22]

(x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.

Положим в нем последовательно x = 1, 2, ..., n и сложим n полученных равенств:

2⁵ + 3⁵ + ... + (n + 1)⁵ = 1 + 2⁵ + 3⁵ + .. + n⁵ + 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) + 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) + 5(1 + 2 + ... + n) + n.

После приведения подобных получим

откуда

Так как

то

Многочлен третьей степени, стоящий в скобках, имеет корень n = −2 и поэтому делится на 2n + 1.

Ответ.¹/₃₀n(n + 1)(2n + 1)(3n² + 3n − 1).

20.10. В n−й группе содержится n членов.

Пусть n четное. Подсчитаем число четных чисел, встречающихся во всех группах до n−й. Это число равно

2 + 4 + 6 + ... + (n − 2) = ⁿ(n − 2)/₄.

Следовательно, последнее четное число, встречающееся до n−й группы, равно 2ⁿ(n − 2)/₄ = ⁿ(n − 2)/₂, а первое четное число, входящее в n−ю группу, равно ⁿ

(n − 2)/₂ + 2. Теперь можно найти сумму n последовательных четных чисел, начинающихся с ⁿ(n − 2)/₂ + 2. Эта сумма равна

Пусть теперь n четное. Число нечетных членов, встречающихся до n−й группы, равно

1 + 3 + 5 + ... + (n − 2) = ⁽ⁿ − 1)²/₄.

Последним нечетным числом, стоящим до n−й группы, будет ⁽ⁿ − 1)²/₂ − 1, а первым числом, входящим в n−ю группу, — число ⁽ⁿ − 1)²/₂ + 1. Следовательно, сумма n последовательных нечетных чисел, начиная с ⁽ⁿ − 1)²/₂ + 1, равна

Ответы можно объединить.

Ответ. ⁿ/₂[n² + ³/₂ + (−1)ⁿ½].

20.11. Домножим S_n на 2 sin ^π/_2n:

После приведения подобных получим

Так как sin ^π/_2n ≠ 0 при натуральных n, то S_n = 0.

2 n

Ответ. 0.

20.12. Обозначим искомую сумму через S. Тогда

2S = 1 · 2 + 2 · 2² + 3 · 2³ + ... + 100 · 2¹⁰⁰,

2S − S = 100 · 2¹⁰⁰ − (1 + 2 + 2² + ... + 2⁹⁹) = 100 · 2¹⁰⁰ − (2¹⁰⁰ − 1) = 99 · 2¹⁰⁰ + 1.

20.13. Пусть искомая сумма равна S. Разделим каждый член данного ряда на 2:

¼ + ³/₈ + ⁵/₁₆ + ⁷/₃₂ + ... = ^S/₂

и вычтем полученный ряд из данного. Получим ряд:

½ + ½ + ¼ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ...,