Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

18.14. Обозначим скорость товарного поезда до остановки через x, расстояние AB через y, а расстояние AC через z. Тогда пассажирский поезд шел вначале со скоростью mx, а после остановки оба поезда шли соответственно со скоростями ^5x/₄ и ^5mx/₄. Весь путь без остановки товарный поезд прошел бы за ^y/_x ч. Поскольку он сделал остановку на t ч в z км от А, а затем прошел оставшиеся (y − z) км со скоростью ^5x/₄, то он прошел весь путь за

^z/_x + ^4(y − z)/_5x + t ч.

Следовательно,

^y/_x + t₁ = ^z/_x + ^4(y − z)/_5x + t.

Аналогичное уравнение составляем для пассажирского поезда, который шел в обратном направлении:

^y/_mx + t₂ = ^y − z/_mx + ^4y/_5mx + t.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени, за которое товарный поезд прошел отрезок AC, вычесть время, за которое пассажирский поезд прошел расстояние BC. В наших обозначениях эта разность запишется так:

^z/_x − ^y − z/_mx.

Именно это выражение нам нужно определить с помощью полученных выше уравнений. Мы может добиться этого, решив уравнения относительно ^z/_x и ^y/_x. После простых преобразований система примет вид

Умножив первое уравнение на −4 и сложив со вторым, найдем ^z/_x, а умножив его на −5 и сложив со вторым, найдем ^y/_x:

^y/_x = 25(t − t₁) − 5m(t₂ − t), ^z/_x = 20(t − t₁) − 5m(t₂ − t).

Остается подставить найденные значения в выражение

(m + 1)^z/_mx − ^y/_mx.

Ответ. ⁵/_m[(4m − 1)(t − t₁) − m²(t₂ − t)].

18.15. Обозначим скорость самолета через x, а скорость вертолета через y. До первой встречи вертолет летел ^d/_y ч, а самолет — ^d/_x ч. Так как самолет вылетел на t ч позднее, то

^d/_y = ^d/_x + t.

Второе уравнение мы получим из условия второй встречи. Вертолет к этому моменту находился в d км от В и пробыл в полете ^s − d/_y ч. Самолет, преодолев расстояние s + d, пробыл в полете ^s + d/_x ч. Следовательно,

^{s − d}/_y = ^s + d

/_x + t.

Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим интересующую нас величину в предположении, что x и y известны. Вертолет прилетел в В через ^s/_y ч после вылета. Самолет вернулся в А через (t + ^2s/_x) ч после того, как вертолет вылетел из А. Нас интересует величина

t + ^2s/_x − ^s/_y

— на столько позднее самолет вернулся в А, чем вертолет прилетел в В. Таким образом, из полученных уравнений нужно определить ¹/_x и ¹/_y. Умножив первое уравнение на d − s, а второе на d и сложив, найдем

^{(s + d)d}/_x + ^d(d − s)/_x + t(d − s) + td = 0, т. е.  ^2d²/_x = t(s − 2d),

откуда

¹/_x =  ^t(s − 2d)/_2d².

Из первого уравнения определяем ¹/_y:

¹/_y = ¹/_x + ^t/_d = ^ts/_2d².

Следовательно,

t + ^2s/

_x − ^s/_y = t + ^2st(s − 2d)/_2d² − ^ts²/_2d² = t + ^st(s − 4d)/_2d².

Задача имеет решение, если все участвующие компоненты положительны. Чтобы величина ¹/_x имела смысл, необходимо s > 2d.

По условию вертолет прилетел в В раньше, чем самолет вернулся в А. Поэтому

t + ^st(s − 4d)/_2d² > 0,    т. е.    s² − 4sd + 2d² > 0.

Получаем квадратное неравенство относительно отношения ^s/_d:

(^s/_d)² − 4^s/_d + 2 > 0,

откуда

^s/_d < 2 − √2 или  ^s/_d > 2 + √2.

Первое решение придется отбросить, так как тогда s < 2d − √2 d, а это противоречит условию, что s > 2d.

Ответ.  t + ^st(s − 4d)/_2d², s > (2 + √2)d.

18.16. Устье реки, на которой стоит порт M, обозначим через А, а устье второй реки — через В. Расстояние MA обозначим буквой x, а расстояние BN — буквой y. Искомое расстояние тогда будет равно s − (x

+ y). Путь от M до N пароход прошел за:  ч — путь по первой реке (по течению), ^s − (x + y)/_v ч — путь по озеру и  ч — путь по второй реке (против течения). Так как весь путь пароход прошел за t ч, то получаем уравнение

Аналогично для пути от N до M получим уравнение

Приравнивая левые части этих уравнений, получим

т. е.

Подставим найденное выражение для x в первое уравнение и найдем

следовательно,

Остается найти s − (x + y).

Ответ.

18.17. Примем расстояние AB за единицу. Пусть скорости пассажирского, курьерского и скорого поездов равны v, 2v и u соответственно (в долях этой единицы).

Тогда время, которое находились в пути до встречи скорый и курьерский поезда, равно ¹/_u + 2v, а время до встречи скорого и пассажирского будет равно ¹/_u + v. По условию

¹/_u + 2v ≥ 10½ − 8 = ⁵/₂,    (13)

¹/_u + v − ¹/_u + 2v ≥ 1.    (14)

Нам известно также, что скорый поезд преодолевает расстояние AB за 55 ч. Следовательно, за 1 ч он проходит ⁶/₃₅ AB, т. е. u = ⁶/₃₅. Подставим это значение u в каждое из предыдущих неравенств, находим, что, с одной стороны, v ≤ ⁴/₃₅, а, с другой стороны, ⁴/₃₅ ≤ v ≤ ⁹/₇₀. Обоим неравенствам удовлетворяет единственное значение v = ⁴/₃₅, т. е. пассажирский поезд находился в пути из В в А 8 ч 45 мин и прибыл в А в 16 ч 45 мин.

Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что решение системы неравенств, казалось бы, упростится, если неравенства (13) и (14) сложить и заменить их суммой второе неравенство. Однако система неравенств