Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1.30. Чтобы доказать равенство двух отрезков, о которых идет речь в условии, можно ввести элементы, определяющие треугольник, и выразить через них эти отрезки. То же самое можно сделать геометрически: четырехугольник О₁ЕDО₃ (рис. I.1.30), построенный на отрезке О₁О₃, таков, что каждая из трех его остальных сторон равна половине соответствующей стороны треугольника. Остается построить такой же четырехугольник на отрезке ВО₂.

1.31. Площадь треугольника АFМ (рис. I.1.31) в восемь раз меньше площади треугольника АВС, так как АF = ½AB, а высота треугольника АFМ в четыре раза меньше высоты треугольника АВС (докажите). Если рассматривать AM и АD как основания треугольников АFМ и АВD, то соответствующие высоты этих треугольников относятся как 1 : 2. Выяснив, в каком отношении точка M делит отрезок АD, мы решим задачу.

1.32. Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих в задачу величин целесообразно рассмотреть радиус круга R и углы четырехугольника. Введя углы, мы сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

1.33. Использовать тот факт, что боковые стороны трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований, лежат на прямых, пересекающихся в общей точке.

1.34. Если обозначить сторону квадрата через а, а расстояние от точки M до самой ближней стороны (либо до AB, либо до

CD) через x, то остальные расстояния можно выразить через а и x.

1.35. Фигура, площадь которой нужно определить, на рис. I.1.35 заштрихована. Отрезок CD разбивает эту фигуру на правильный треугольник и трапецию. Длина отрезка АF известна, она равна ³/₂. Если мы сможем определить длину отрезка СЕ (обозначим ее x), то задача будет решена.

1.36. Из параллельности сторон трапеции и треугольника следует, что углы при основании треугольника и при нижнем основании трапеции равны. Если обозначить эти углы через α, то можно выразить через α и другие углы, связанные с треугольником и трапецией.

1.37. Треугольники АОD и BОС подобны. Это позволяет из отношения оснований трапеции получить отношение высот треугольника АОD и трапеции. (!)

1.38. Нас интересует периметр третьего многоугольника. Обозначим его через x. Введем также радиус окружности R и число сторон b первого многоугольника.

1.39. Окружность не может лежать между точками M и О (докажите). Ее центр О₁ лежит на биссектрисе угла АОВ.

1.40. Из данного отношения площадей треугольников АВС и АDЕ, записанного в виде отношения произведений катетов, и из свойства произведения секущей на ее внешнюю часть найти отношение ^AE/_AB.

1.41.

Пусть О₁ — центр окружности, радиус которой мы ищем, а О — центр данной окружности. В качестве связующего звена следует рассмотреть треугольник АОО₁.

1.42. Нужно обозначить сторону квадрата через а и составить с помощью теоремы Пифагора биквадратное уравнение для определения а через R и r.

1.43. Вписанный в сегмент квадрат не должен нарушать симметрии сегмента. Поэтому он расположится так, как показано на рис. I.1.43. Обозначим половину стороны квадрата через x и составим уравнение относительно x.

1.44. Чтобы использовать условия задачи, нужно провести радиусы обеих окружностей в точки касания окружностей друг с другом и с нижним основанием. Центр меньшей окружности лежит на биссектрисе угла D.

1.45. Вначале для определенности удобно предположить, что точки P и Q лежат по разные стороны от CD. В этом случае диаметр CD разделит фигуры РQNМ и Р₁Q₁D на две части (рис. I.1.45). Нужно доказать, что площадь фигуры СQNK равна площади треугольника Q₁OD. При этом полезен будет следующий факт. Если соединить точки Q и

О, то, во-первых, угол QОС вдвое больше угла QDС, а во-вторых, треугольники ОQ₁D и ОQD равновелики.

1.46. Соединим точки А и В, P и M и проведем радиусы из центра О в точки А и В (рис. I.1.46). Если длины отрезков AB, АР₁ и ОА = R заданы и отрезок AB построен, то прямоугольный треугольник АРВ и положение точки О определяются однозначно. Следовательно, зная длины этих отрезков, можно вычислить длины интересующего нас отрезка РМ.

1.47. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен к этой хорде. Зная, что хорда удалена от центра на ^3R/₅, легко выразить ее длину через R.

1.48. Использовать геометрически касание окружности О₂ с окружностью О

₁ можно, соединив их центры (рис. I.1.48). Отрезок О₂О₁ пройдет через точку касания. Так как окружность О₂ касается сторон угла ОАВ, то ее центр лежит на биссектрисе угла ОАВ.

1.49. Если в треугольнике АВС провести высоту АN (рис. I.1.49), то искомая площадь будет равна ½АN · BC. Соединив точки M и С, разобьем треугольник АВС на равнобедренный треугольник МСВ и треугольник АМС, у которого угол АМС легко выразить через φ.

1.50. Задача вычислительная. Нужно воспользоваться формулой Герона и выражением радиуса R через стороны треугольника и его площадь S, т. е. R = ^abc/_4S . Стороны треугольника удобно обозначить: а, а − d, а + d.