Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1.51. Проведите через точки P и Q прямые, параллельные AC. Первая будет средней линией треугольника АВС, вторая — средней линией треугольника с вершиной В, которому первая средняя линия служит основанием.

1.52. Соединим точки P и T. Данный треугольник разбивается на пять. Пусть QT = m, TL = n, QN = RL = а. Чтобы использовать условия задачи, можно записать соотношения площадей различных треугольников, образовавшихся из данного треугольника PQR.

1.53. Хорда MN — сторона правильного шестиугольника, вписанного в первую окружность, так как опирающийся на MN центральный угол ∠МО₁N = 60°. Чем является MN для второй окружности?

1.54. Для вписанного в окружность четырехугольника воспользоваться свойством, в силу которого сумма противоположных его углов равна 180°. Удобно обозначить стороны четырехугольника через а, b, с, d, начиная со стороны AB, а опирающиеся на них углы (проведите диагонали) через α, β, γ, δ.

K главе 2

2.1. Предположим, что где-то построен мост (рис. I.2.1). В этом случае путь из А в В будет ломаной, состоящей из трех звеньев. Среднее звено всегда остается неизвестным по длине и направлению. Следовательно, нужно «спрямить» первое и третье звенья.

2.2. Из точки

А отрезки МР и РN видны под углом 30° каждый. Следовательно, построить точку А можно как пересечение двух сегментов, вмещающих угол в 30°.

2.3. Пусть треугольник АВС искомый (рис. I.2.3). Чтобы на чертеже появился угол φ, отразим треугольник АВС от вертикальной оси, проходящей через середину BC. Получим треугольник СА₁А, в котором ∠А₁СА = φ.

2.4. В любом треугольнике АВС центр описанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, восставленных из середин сторон. Этот факт можно использовать для того, чтобы связать данные элементы треугольника: b и m_с.

2.5. Точки О (центр вписанной окружности) и О₁ (центр вневписанной окружности) лежат на биссектрисе угла А треугольника АВС (рис. I.2.5). Отрезки ОС и О₁С, ОВ и О₁В взаимно перпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Поэтому точки В, О, С, О

₁ лежат на одной окружности с центром в точке Q.

2.6. Применить метод подобия, выбрав за центр подобия одну из вершин треугольника, А или С.

2.7. Если прямую FЕ (рис. I.2.7) вращать около точки M, то площади треугольников ОМF и ОМЕ будут изменяться так, что с увеличением одной уменьшается другая. Это должно навести на мысль рассмотреть некоторое среднее положение.

2.8. Чтобы использовать данный в условии периметр треугольника, нужно осуществить «спрямление», т. е. рассмотреть треугольник, который получается из искомого, если отложить на BC отрезки А₁В и СА₂, равные AB и AC соответственно, так, как это показано на рис. I.2.8.

2.9. Чтобы подойти к решению задачи, нужно построить из отрезков АР, ВР и СР ломаную с закрепленными концами и посмотреть, когда эта ломаная будет выпрямляться.

2.10. Зная гипотенузу, можно построить окружность, в которую вписан искомый прямоугольный треугольник АВС. Если биссектрису CD продолжить до пересечения с этой окружностью в точке E, то получим две равные дуги АЕ и ЕВ. Следовательно, отрезок ОЕ, соединяющий точку E с центром круга, перпендикулярен к AB и равен ^c/₂. Теперь все данные в условии элементы связаны между собой.

2.11. Пусть известны углы при вершинах

А и D четырехугольника и его стороны AB = а, BC = b, CD = с. Если угол ВАD закреплен, то положение точки С определяется с помощью метода геометрических мест.

2.12. Пусть AM (рис. I.2.12) — искомая секущая и AB = ВМ. Чтобы связать ее с данной окружностью, соединим точки О и В. Если отрезок ОВ продолжим за точку В и отложим BC = ОВ = R, то точки О, А, С и M будут вершинами параллелограмма.

2.13. Пусть через точку M пересечения двух окружностей с центрами О и О₁ (рис. I.2.13) проведена секущая AB данной длины. Проведем к ней перпендикуляры ОС и О₁D. Отрезок CD

вдвое меньше отрезка AB, так как точки С и D — соответственно середины хорд AM и МВ.

2.14. Если хорда AB искомая, то МВ − AM = а. Построим отрезок BN, равный AM (рис. I.2.14). Точки M и N лежат на одинаковом расстоянии от точки О, а MN = а.

2.15. Так как длина отрезка PQ и несущая его прямая известны, то можно воспользоваться методом параллельного переноса.

2.16. Нужно построить отрезок FD (рис. I.2.16), делящийся в точке M пополам. Следовательно, его можно рассматривать как одну из диагоналей параллелограмма. В качестве одной из вершин параллелограмма удобно выбрать точку В. Отразив ее симметрично от точки M, получим еще одну вершину.

2.17. Если через точки А и В провести прямую, то она, вообще говоря, должна пересечь прямую PQ в некоторой точке С. Остается воспользоваться свойством секущей и касательной, проходящих через общую точку. Случай, когда AB и PQ параллельны, рассмотрите отдельно. (!)

2.18. Соединить точку M с концами А и В данного диаметра. Рассмотреть получившиеся точки пересечения с окружностью.