Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Математическое ожидание потерь, формируемых областью отрицательной доходности

Относительные математические ожидания дохода и потерь соответственно определяются как

Относительная средняя прибыль

Таким образом, для усечённого нормального распределения относительная средняя прибыль также является МО доходности актива, которая «не чувствительна» к СКО доходности.

7.3. Определение плотности распределения стоимости акции на основе исторических данных

Предположим, что инвестор обладает ограниченной выборкой исторической стоимости актива, в частности акции. Причём есть основания полагать, что процесс случайных колебаний стоимости (курса) акции является стационарным или квазистационарным, т. е. исторические данные статистически устойчивы.

С использованием методов математической статистики на основе имеющейся информации инвестору необходимо удостовериться в правдоподобии гипотезы об усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции, определить точки усечения и, а также оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение стоимости акции (и). В данном случае выплаченные дивиденды не учитываются, а уровень благосостояния инвестора определяется курсом акции, т. е. (см. п. 1.1).

Типовое решение данной задачи рассмотрим на примере исторической стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» (данные фондовой биржи NASDAQ) за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. (всего 100 торговых дней). На рис. 7.6 демонстрируется динамика курса акции корпорации (цена закрытия, closing price), а в таблице приложения 3 представлены те же данные в порядке возрастания стоимости (в теории вероятностей исторические данные, расположенные в порядке возрастания, носят название упорядоченной статистической совокупности [2]).

Рис. 7.6. Динамика курса акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г.

Анализ данных по исторической стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за рассматриваемый период показал, что минимальная цена акции составляла долл., а максимальная — долл.

На основе исторических данных представляется возможным рассчитать статистическое среднее значение стоимости акции и статистическое среднее квадратическое отклонение стоимости акции

где — количество торговых дней в выборке исторической стоимости акции; — историческая цена акции в — ый торговый день.

Применительно к акции корпорации «GENERAL MOTORS» за рассматриваемый период получаем долл. и долл.

Исторические данные стоимости акции были распределены по одинаковым шести разрядам с шагом 1,173 долл., как показано на гистограмме (см. рис. 7.7), методика построения которой изложена в [2]. Гистограмма является аналогом усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» с точками усечения долл. и долл., симметричными относительно центра рассеивания долл. Симметрия точек усечения на гистограмме достигнута за счёт незначительной коррекции максимальной цены акции с 46,48 долл. до 46, 58 долл.

Рис. 7.7. Гистограмма и усечённая нормальная плотность распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г.

Перечисленные параметры и соотношение (7.13) позволяют рассчитать численными методами величину СКО исходного не усечённого нормального распределения долл. Используя полученные данные, получаем значение коэффициента.

Таким образом, выражение для усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. имеет вид

График зависимости изображён на рис. 7.7.

Сравнительный анализ гистограммы и зависимости на рис. 7.7. показывает, что на качественном уровне гипотезу об усечённой нормальной плотности распределения стоимости акции корпорации «GENERAL MOTORS» за период с 26.09.2017 г. по 16.02.2018 г. можно считать вполне приемлемой.

Для количественной оценки правдоподобия данной гипотезы можно воспользоваться критерием согласия Пирсона [1]. В результате расчётов установлено, что, число степеней свободы составляет [2, с. 143–144], а степень согласованности гистограммы с теоретической плотностью распределения характеризуется вероятностью. Величина данной вероятности достаточно высока, чтобы признать расхождения между гистограммой и теоретической плотностью распределения не противоречащими историческим данным.

7.4. Описательная модель ценообразования обыкновенных акций в условиях эффективного рынка