Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

По аналогии с п. 7.1 определим дополнительные параметры усечённого нормального распределения дохода актива.

Вероятности положительной и отрицательной доходности актива.

Вероятность положительной доходности актива определяется как

где

Аргумент вероятностей можно преобразовать к виду

Вероятность отрицательной доходности актива рассчитывается по формуле

Аргумент вероятности можно преобразовать к виду

Очевидно, что сумма вероятностей отрицательной и положительной доходности равна единице, т. е. Причём при приобретении актива по минимальной цене вероятность отрицательной доходности равна нулю, а вероятность положительной доходности равна единице, что свойственно безрисковому активу.

Плотности распределения случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Плотность распределения случайной величины в области положительной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения

В результате преобразований получаем

Плотность распределения случайной величины в области отрицательной доходности

где — коэффициент, определяемый из уравнения

В результате преобразований получаем

Математические ожидания случайной величины в областях положительной и отрицательной доходности актива.

Математическое ожидание случайной величины в области положительной доходности (см. рис. 7.4)

Математическое ожидание случайной величины в области отрицательной доходности (см. рис. 7.4)

Денежные потоки, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.

Денежный поток, формируемый областью положительной доходности, определяется как

Денежный поток, формируемый областью отрицательной доходности, определяется подобным образом

В соотношениях (7.16) и (7.17) общий параметр, характеризующий структуру денежных потоков, определяется по формуле

где — коэффициент, характеризующий степень усечения исходного нормального распределения в относительных единицах.

Примечательно, что, как и в случае не усечённого нормального распределения, сумма денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, равна МО дохода актива, т. е.

Кроме того, сравнительный анализ соотношений (7.7) и (7.18) показывает, что усечённое нормальное распределение дохода в данном случае может быть аппроксимировано нормальным распределением, если обеспечивается равенство параметров, т. е. при одновременном выполнении двух условий:

Для предельных значений СКО доходности и (см. для справки приложение 2) соотношения (7.16) и (7.17) приводятся к виду:

На рис. 7.5 представлены типичные зависимости денежных потоков, формируемых областями положительной и отрицательной доходности, от СКО

доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива. На рис. 7.5 представлены зависимости применительно к усечённой нормальной плотности распределения дохода.

Рис. 7.5. Зависимости денежных потоков и от СКО доходности при фиксированном положительном значении МО доходности актива применительно к усечённой нормальной плотности распределения дохода

Сравнительный анализ результатов расчётов, а также рис. 7.3 и 7.5, показывает, что ход зависимостей и при малых значениях практически идентичен. Однако с ростом СКО доходности ход зависимостей отличается коренным образом. Если для нормальной плотности распределения дохода в зависимостях и характерно наличие экстремума, а при относительно больших значениях кривые вырождаются в линейную зависимость, то для усечённой нормальной плотности распределения кривые и монотонно стремятся к асимптотам и соответственно.

Следовательно, для усечённой нормальной плотности распределения с ростом СКО доходности от нуля до бесконечности доля области положительной доходности в МО дохода монотонно уменьшается, а доля области отрицательной доходности — монотонно увеличивается.

Математические ожидания дохода и потерь, формируемые областями положительной и отрицательной доходности.

Математическое ожидание дохода, формируемого областью положительной доходности