Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы

Авторами модели являются Ф.Блэк, а также лауреаты Нобелевской премии по экономике М.Шоулз и Р.Мертон (премия присуждена «за новый метод определения стоимости производных ценных бумаг»). Данная модель получила широкое распространение и, помимо всего прочего, используется для оценки всех производных активов [1].

Вместе с тем в [1, с. 659] отмечается, что: «Она (т. е. формула Блэка — Шоулза) часто применяется теми, кто пытался обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьёзно отличается от его действительной цены. Опцион, который продаётся по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка — Шоулза, является кандидатом на покупку; и наоборот, — тот, который продаётся по значительно более высокой цене, — кандидат на продажу». Констатация факта наличия существенного несоответствия рыночной цены с расчётной стоимостью опциона свидетельствует о целесообразности критического отношения к формуле Блэка — Шоулза.

При разработке модели оценки европейских опционов авторами были приняты следующие допущения:

по базисному активу, в частности акции, в течение всего срока действия опциона дивиденды не выплачиваются;

отсутствуют транзакционные затраты, связанные с покупкой или продажей базисного актива и опциона;

краткосрочная безрисковая ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона;

любой покупатель ценной бумаги может получать кредит по краткосрочной безрисковой ставке в течение всего срока действия опциона;

продажа ценных бумаг разрешается без ограничений, и при этом продавец получает немедленно всю наличную сумму за проданную ценную бумагу по текущей цене;

стоимость базисного актива является случайной величиной с логарифмически нормальной плотностью распределения.

Формула Блэка — Шоулза для оценки стоимости европейского опциона (или премии по опциону) «колл» имеет вид [1]

где

— текущая рыночная стоимость базисного актива; — цена исполнения опциона; — непрерывно начисляемая безрисковая ставка; — среднее квадратическое отклонение доходности базисного актива, представленное как непрерывно начисляемый процент в расчёте на год; — относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона.

При определении относительного времени обычно полагают, что:

цена базисного актива фиксируется в конце каждого торгового (операционного) дня на момент закрытия биржи;

календарный год содержит 252 торговых дня;

срок действия опциона измеряется как количество торговых дней до даты исполнения опциона включительно;

в день исполнения европейского опциона и;

досрочное исполнение американского опциона возможно при и.

В соответствии с изложенным, относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона можно рассчитать по формуле

Следовательно, срок действия стандартных 3–х, 6–ти и 9–ти месячных опционов в единицах относительного времени составляет 0,25, 0,5 и 0,75 соответственно.

Необходимо обратить внимание на то, что — это дисконтированная цена исполнения опциона на базе непрерывно начисляемого процента, причём при безрисковая ставка может быть определена по формуле [1]. Кроме того, величина является не чем иным как текущим СКО доходности базисного актива.

Для европейского опциона «пут» формула Блэка — Шоулза преобразуется к виду [1]

На рис. 10.5 представлены зависимости стоимости европейских опционов «колл» и «пут» от текущей стоимости базисной акции, рассчитанные с использованием формул (10.10) и (10.11)

а)

б)

Рис. 10.5. Зависимости стоимости европейских опционов «колл» (а) и «пут» (б) от стоимости базисной акции при: долл., (кривые 1, 2, 3 соответственно)

Для сопоставления зависимостей стоимости европейских опционов и на рис. 10.5 изображены также ломаные линии, характеризующие внутреннюю стоимость опционов «колл» и «пут». Анализ полученных зависимостей показывает, что стоимость европейского опциона, рассчитанная по формуле Блэка — Шоулза, не может быть ниже внутренней стоимости опциона, т. е.

Таким образом, положение о том, что стоимость европейского опциона равна сумме внутренней и временной стоимости, следует из формулы Блэка — Шоулза.

Не вникая в технологию вывода формулы Блэка — Шоулза, сконцентрируемся на анализе конечных результатов.