Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

382. Когда мы говорим о состоянии, в котором пребывают частицы магнита, как о магнитной поляризации, то подразумеваем, что каждая из самых маленьких порций, на какие только можно разделить магнит, обладает определёнными свойствами по отношению к определённому направлению, проходящему через частицу и называемому Осью Намагниченности; причём эти свойства противоположны для разных концов оси.

Свойства, приписываемые нами частице, относятся к свойствам того же типа, что и наблюдаемые для всего цельного магнита; принимая, что частицы обладают этими свойствами, мы тем самым делаем лишь такие предположения, которые можем доказать, разламывая магнит на мелкие кусочки, ибо каждый из этих кусочков оказывается магнитом.

Свойства намагниченной частицы

383. Предположим, что элемент 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 является частицей магнита и обладает магнитными свойствами магнита, имеющего мощность положительного полюса 𝑚 и длину 𝑑𝑠. Тогда в произвольной точке пространства 𝑃, отстоящей на расстоянии 𝑟 от положительного полюса и на расстоянии 𝑟' от отрицательного, магнитный потенциал 𝑉 будет состоять из потенциала 𝑚/𝑟, создаваемого положительным полюсом, и потенциала -𝑚/𝑟', создаваемого отрицательным полюсом, т.е.

𝑉

=

𝑚

𝑟𝑟'

(𝑟'-𝑟)

.

(1)

Если расстояние между полюсами 𝑑𝑠 очень мало, можно положить

𝑟'-𝑟

=

𝑑𝑠

cos ε

,

(2)

где ε - угол между вектором, направленным от магнита в точку 𝑃, и осью магнита. В пределе получим

𝑉

=

𝑚𝑑𝑠

𝑟²

cos ε

.

(3)

Магнитный момент

384. Произведение длины стержневого магнита, однородно и продольно намагниченного, на мощность его положительного полюса называется Магнитным Моментом магнита.

Интенсивность намагниченности

Интенсивность намагниченности магнитной частицы определяется как отношение её магнитного момента к объёму. Мы будем обозначать её буквой 𝐼.

Намагниченность в любой точке магнита может быть определена по её интенсивности и направлению. Направление можно задать с помощью направляющих косинусов λ, μ, ν.

Составляющие намагниченности

Намагниченность в какой-либо точке магнита, будучи вектором или направленной величиной, может быть выражена через три её составляющих, отнесённых к осям координат. Назовём их 𝐴, 𝐵, 𝐶:

𝐴

=

𝐼λ

,

𝐵

=

𝐼μ

,

𝐶

=

𝐼ν

.

(4)

Абсолютное или численное значение величины 𝐼 задаётся уравнением

𝐼²

=

𝐴²

+

𝐵²

+

𝐶²

.

(5)

385. Если рассматриваемая нами часть магнита есть дифференциальный элемент объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, а 𝐼 - интенсивность намагниченности этого элемента, то его магнитный момент равен 𝐼𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. Подставляя его вместо 𝑚𝑑𝑠 в уравнение (3) и помня, что

𝑟 cos ε

=

λ(ξ-𝑥)

+

μ(η-𝑦)

+

ν(ζ-𝑧)

,

(6)

где ξ, η, ζ - координаты конца вектора 𝑟, выходящего из точки (𝑥,𝑦,𝑧), для потенциала в точке (ξ,η,ζ), обусловленного намагниченным элементом, находящимся в (𝑥,𝑦,𝑧), найдём

{

𝐴(ξ-𝑥)

+

𝐵(η-𝑦)

+

𝐶(ζ-𝑧)

}

1

𝑟³

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(7)

Чтобы получить потенциал, создаваемый в точке (ξ,η,ζ) магнитом конечных размеров, необходимо найти интеграл от этого выражения по всем элементам объёма, входящим в пространство, занятого магнитом, т.е.

𝑉

=

∭

{

𝐴(ξ-𝑥)

+

𝐵(η-𝑦)

+

𝐶(ζ-𝑧)

}

1

𝑟³

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(8)

После интегрирования по частям получаем

𝑉

=

∬

𝐴

1

𝑟

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

∬

𝐵

1

𝑟

𝑑𝑧

𝑑𝑥

+

∬

𝐶

1

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

-

-

∭

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

+

𝑑𝐵

𝑑𝑦

+

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где двойной интеграл в первых трёх членах берётся по поверхности магнита, а тройной интеграл в четвёртом члене - по его объёму.

Обозначим через 𝑙, 𝑚, 𝑛 направляющие косинусы нормали, направленной из элемента поверхности 𝑑𝑆 наружу, тогда, как и в п. 21, для суммы первых трёх членов можно написать

∬

(

𝑙𝐴

+

𝑚𝐵

+

𝑛𝐶

)

1

𝑟

𝑑𝑆

,

где интегрирование распространяется на всю поверхность магнита.

Если ввести теперь новые обозначения σ и ρ, определив их с помощью равенств

σ

=

𝑙𝐴

+

𝑚𝐵

+

𝑛𝐶

,

ρ

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

+

𝑑𝐵

𝑑𝑦

+

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

,

то выражение для потенциала может быть записано в виде

𝑉

=

∬

σ

𝑟

𝑑𝑆

+

∭

ρ

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

386. Это совпадает с выражением для электрического потенциала, создаваемого телом, на поверхности которого существует электризация с поверхностной плотностью σ и одновременно во всём веществе которого имеется объёмная электризация с объёмной плотностью ρ. Следовательно, если считать величины σ и ρ поверхностной и объёмной плотностями распределения некоторого воображаемого вещества, названного нами «магнитной материей», то потенциал, обусловленный ими, будет равен потенциалу, создаваемому истинной намагниченностью всех элементов объёма.

Поверхностная плотность σ есть составляющая намагниченности вдоль направления внешней нормали к поверхности, а объёмная плотность ρ есть «конвергенция» (см. п. 25) намагниченности в данной точке магнита.

Этот метод представления действия магнита как действия, обусловленного распределением «магнитной материи», очень удобен, однако всегда следует помнить, что он является лишь искусственным приёмом описания действия, создаваемого некоторой системой поляризованных частиц.

О действии одной магнитной молекулы на другую

387. Если, как и в п. 129 б главы о сферических гармониках, положить

𝑑

𝑑ℎ

=

𝑙

𝑑

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑

𝑑𝑧

,

(1)