Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,

ℎ

₁

ℎ

₂

=

(ℎ

₁

𝑟)

+

(ℎ

₂

𝑟)

,

(16)

и момент пары сил, равный

𝑚₁𝑚₂

𝑟³

(

sin(ℎ

₁

ℎ

₂

)

-

3cos(ℎ

₁

𝑟)

sin(𝑟ℎ

₂

)

),

(17)

обращается в нуль, как мы видим, при условии

tg(ℎ

₁

𝑟)

=

2tg(𝑟ℎ

₂

)

,

(18)

или

tg 𝐻

₁

𝑚

₂

𝑅

=

2tg 𝑅𝑚

₂

𝐻

₁

.

(19)

Когда второй магнит занимает это положение, значение 𝑊 становится равным 𝑚₂(𝑑𝑉₁/𝑑ℎ₂), где ℎ₂ - направление силовой линии в точке 𝑚₂, определяемое действием магнита 𝑚₁. Следовательно,

𝑊

=

-𝑚

₂

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑉₁

𝑑𝑥

⎫²

⎪

⎭

+

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑉₁

𝑑𝑦

⎫²

⎪

⎭

+

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑉₁

𝑑𝑧

⎫²

⎪

⎭

⎞½

⎟

⎠

,

(20)

т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.

Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу 𝑅, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу 𝐻₁, параллельную оси первого магнита:

𝑅

=

3

𝑚

₁

𝑚

₂

4λ

₁

²+1

, 𝐻

=

3

𝑚

₁

𝑚

₂

λ

₁

.

𝑟

⁴

√

3λ

₁

²+1

𝑟

⁴

√

3λ

₁

²+1

(21)

На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности - стрелками.

Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.

Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит - вниз.

О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле

389. Пусть 𝑉 - магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.

Если маленький магнит длиной 𝑑𝑠 расположен так, что его положительный полюс величины 𝑚 находится в точке с потенциалом 𝑉, а отрицательный - в точке с потенциалом 𝑉', то потенциальная энергия этого магнита будет равна 𝑚(𝑉-𝑉') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑠

𝑑𝑠

.

(1)

Если 𝐼 - величина намагниченности, λ, μ, ν - её направляющие косинусы, то можно написать

𝑚

𝑑𝑠

=

𝐼

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

и

𝑑𝑉

𝑑𝑠

=

λ

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

μ

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

ν

𝑑𝑉

𝑑𝑧

,

и, наконец, если 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности, то 𝐴=λ𝐼, 𝐵=μ𝐼, 𝐶=ν𝐼, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(2)

Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим

𝑊

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(3)

Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.

Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.

Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:

𝑊

=

∬

(

𝐴𝑙

+

𝐵𝑚

+

𝐶𝑛

)

𝑉

𝑑𝑆

-

(4)

-

∭

𝑉

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

+

𝑑𝐵

𝑑𝑦

+

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт

𝑊

=

∬

𝑉σ

𝑑𝑆

+

∭

𝑉ρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(5)

Уравнение (3) можно переписать в виде

𝑊

=

-

∭

(

𝐴α

+

𝐵β

+

𝐶γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(6)

где α, β, и γ - составляющие внешней магнитной силы.

О магнитном моменте и оси магнита

390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие α, β, γ постоянны. Записав

∭

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑙𝐾

,

∭

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑚𝐾

,

∭

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

𝑛𝐾

(7)

и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину 𝑊 можно представить в виде

𝑊

=

-𝐾

(

𝑙α

+

𝑚β

+

𝑛γ

).

(8)

В этом выражении 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы оси магнита, 𝐾 - его магнитный момент. Если обозначить через ε угол между осью магнита и направлением магнитной силы ℌ то величину 𝑊 можно переписать так:

𝑊

=

-𝐾

ℌ

cos ε

.

(9)

Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут φ и наклонён на угол θ относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут δ и наклонение ζ, получим

α

=

ℌcos ζ cos δ,

β

=

ℌcos ζ sin δ,

γ

=

ℌ sin ζ;

(10)

𝑙

=

cos θ cos φ,

𝑚

=

cos θ sin φ,

𝑚

=

sin θ;

(11)

Откуда следует

𝑊

=

-𝐾

{

cos ζ

cos θ

cos (φ-δ)

+

sin ζ

sin θ

}.

(12)

Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол φ, равен

-

𝑑𝑊

𝑑φ

=

-𝐾ℌ

cos ζ

cos θ

sin (φ-δ)

.

(13)

О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам

391. Пусть 𝑉 - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (ξ,η,ζ), его значение в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧 равно

𝑉

=

{

(ξ-𝑥)²

+

(η-𝑦)²

+

(ζ-𝑧)²

}

^-½

 

.

(1)

Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда

𝑉

=

𝑉

₀

+

𝑉

₁

+

𝑉

₂

+ и т.д.

(2)

где

𝑉

₀

=(1/𝑟)

,

(3)