Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы оси ℎ то потенциал, обусловленный магнитной молекулой с магнитным моментом 𝑚₁ и осью, параллельной ℎ₁ помещённой в начало координат, будет равен

𝑉

₁

=-

𝑑

𝑚

₁

=

𝑚

₁

λ

₁

,

𝑑ℎ

₁

𝑟

𝑟²

(2)

где λ₁ - косинус угла между ℎ₁ и 𝑟.

Если имеется вторая магнитная молекула с моментом 𝑚₂ и осью, параллельной ℎ₂, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор 𝑟, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна

𝑊

=

𝑚

₂

𝑑𝑉

𝑑ℎ₂

=-

𝑚

₁

𝑚

₂

𝑑²

𝑑ℎ₁𝑑ℎ₂

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

,

(3)

=

𝑚₁𝑚₂

𝑟³

(μ

₁₂

-3λ

₁

λ

₂

)

,

(4)

где μ₁₂ - косинус угла между осями, а λ₁ и λ₂ косинусы углов между радиус-вектором и осями.

Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.

Предположим, что второй магнит повернулся на угол 𝑑φ в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси ℎ₃; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (𝑑𝑊/𝑑φ)𝑑φ, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,

-

𝑑𝑊

𝑑φ

=-

𝑚₁𝑚₂

𝑟³

⎛

⎜

⎝

𝑑μ₁₂

𝑑φ

-

3λ

₁

𝑑λ₂

𝑑φ

⎞

⎟

⎠

.

(5)

Истинный момент, действующий на второй магнит, можно, следовательно, рассматривать как результирующую двух пар сил: первая действует в плоскости, параллельной осям обоих магнитов, и стремится увеличить угол между ними; её момент равен

𝑚₁𝑚₂

𝑟³

sin(ℎ

₁

ℎ

₂

)

,

(6)

в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через 𝑟 и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент

3𝑚₁𝑚₂

𝑟³

cos(𝑟ℎ

₁

)

sin(𝑟ℎ

₂

)

,

(7)

где через (𝑟ℎ₁), (𝑟ℎ₂), (ℎ₁ℎ₂) обозначены углы между линиями 𝑟, ℎ₁, ℎ₂.

Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии ℎ₃, необходимо вычислить

-

𝑑𝑉

𝑑ℎ₃

=

𝑚

₁

𝑚

₂

𝑑³

𝑑ℎ₁𝑑ℎ₂𝑑ℎ₃

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

,

(8)

=

-𝑚

₁

𝑚

₂

3!𝑌₃

𝑟⁴

(по п. 129в),

=

3

𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

{

λ

₁

μ

₂₃

+

λ

₂

μ

₃₁

+

λ

₃

μ

₁₂

+

λ

₁

λ

₂

λ

₃

}

(9)

(по п. 133),

=

3λ

₃

𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

(μ

₁₂

-5λ

₁

λ

₂

)

+

3μ

₁₃

𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

λ

₂

+

(10)

+

3μ

₂₃

𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

λ

₁

.

Предположим, что истинная сила состоит из трёх сил - 𝑅, 𝐻₁ и 𝐻₂, действующих соответственно в направлениях 𝑟, ℎ₁ и ℎ₂, тогда сила в направлении ℎ₃ будет равна

λ

₃

𝑅

+

μ

₁₃

𝐻

₁

+

μ

₂₃

𝐻

₂

.

(11)

Поскольку направление ℎ₃ произвольно, мы должны иметь

𝑅

=

3𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

(μ

₁₂

-5λ

₁

λ

₂

)

,

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

𝐻

₁

=

3𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

λ

₂

,

𝐻

₂

=

3𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

λ

₁

.

(12)

Сила 𝑅 является отталкивающей - она стремится увеличить 𝑟; силы 𝐻₁ и 𝐻₂ действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.

Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).

Частные случаи расположения магнитов

388. (1). Если λ₁ и λ₂ одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то μ₁₂=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна

𝑅

+

𝐻

₁

+

𝐻

₂

=-

6𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

(13)

Отрицательный знак указывает на притяжение.

(2). Если λ₁ и λ₁ равны нулю, а μ₁₂ - единице, т.е. оси магнитов параллельны друг другу и перпендикулярны 𝑟, то сила окажется отталкивающей и равной

3𝑚₁𝑚₂

𝑟⁴

(14)

ни в одном из этих случаев не возникает никаких вращающих моментов.

(3). Если

λ

₁

=1

и

λ

₂

=0

, то

μ

₁₂

=1

.

(15)

Сила 3𝑚₁𝑚₂/𝑟⁴ будет действовать на второй магнит в направлении его оси, а пара сил с моментом 2𝑚₁𝑚₂/𝑟³ будет стремиться развернуть его параллельно первому магниту. Это эквивалентно действию одной силы 3𝑚₁𝑚₂/𝑟⁴, параллельной оси второго магнита и пересекающей радиус-вектор 𝑟 в точке, отстоящей от 𝑚₂ на расстоянии двух третей его длины.

Рис. 1

На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит 𝑚₂ расположен на оси магнита 𝑚₁, а его собственная ось перпендикулярна оси 𝑚₁, две точки 𝐴 и 𝐵, жёстко связанные соответственно с 𝑚₁ и 𝑚₂, соединены между собой нитью 𝑇. Система будет находиться в равновесии, если 𝑇 пересечёт линию 𝑚₁𝑚₂ под прямым углом в точке, отстоящей от 𝑚₁ на одну треть расстояния между 𝑚₁ и 𝑚₂.

(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия 𝑊 окажется минимальной по ℎ₂ и, следовательно, созданная магнитом 𝑚₂ составляющая силы в направлении ℎ₁ будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].

Рис. 2

Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.