Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Если рассматривать телесный угол как потенциал магнитной оболочки, край которой совпадает с замкнутой кривой и мощность которой равна единице, мы должны определить этот угол как работу, совершаемую единичным магнитным полюсом против магнитной силы при его перемещении из бесконечности в точку 𝑃. Следовательно, потенциал должен быть результатом криволинейного интегрирования вдоль пути σ, по которому полюс приближается к точке 𝑃. Но он также должен быть результатом криволинейного интегрирования по замкнутой кривой 𝑠. Поэтому соответствующее выражение для телесного угла должно иметь вид двойного интеграла по двум кривым 𝑠 и σ.

Когда точка 𝑃 находится на бесконечном расстоянии, телесный угол, очевидно, равен нулю. По мере приближения точки 𝑃 замкнутая кривая, если смотреть на неё из движущейся точки, будет казаться раскрывающейся, и можно представлять себе, что полный телесный угол образуется в результате кажущегося перемещения различных элементов замкнутой кривой по мере приближения к ней движущейся точки 𝑃.

Рис. 3

При движении точки 𝑃 от 𝑃 к 𝑃' вдоль элемента 𝑑σ элемент замкнутой кривой 𝑄𝑄', который мы обозначим через 𝑑σ, будет изменять своё положение относительно 𝑃, и линия на единичной сфере, соответствующая 𝑄𝑄', прочертит на сферической поверхности некоторую площадь, которую можно записать так [рис. 3]:

𝑑ω

=

Π

𝑑𝑠

𝑑σ

.

(1)

Чтобы найти Π, предположим, что точка 𝑃 неподвижна, а замкнутая кривая перемещается параллельно самой себе на расстояние 𝑑σ, равное 𝑃𝑃', но в противоположном направлении. При этом относительное движение точки 𝑃 будет таким же, как и в действительности.

Во время этого движения элемент 𝑄𝑄' прочертит площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны 𝑄𝑄' и 𝑃𝑃'. Если, взяв этот параллелограмм в качестве основания, построить пирамиду с вершиной в точке 𝑃, то телесный угол этой пирамиды будет равен искомому приращению 𝑑ω.

Для того чтобы определить значение этого телесного угла, обозначим через θ и θ' углы, которые образуют соответственно 𝑑𝑠 и 𝑑σ с 𝑃𝑄, через φ - угол между плоскостями этих углов. Тогда площадь проекции параллелограмма 𝑑𝑠𝑑σ на плоскость, перпендикулярную 𝑃𝑄 или 𝑟, будет равна 𝑑𝑠𝑑σ sin θ sin θ' sin φ, и, поскольку она равна 𝑟²𝑑ω, находим

𝑑ω

=

Π

𝑑𝑠

𝑑σ

=

1

𝑟²

sin θ sin θ' sin φ

𝑑𝑠𝑑σ

.

(2)

Откуда

Π

=

1

𝑟²

sin θ sin θ' sin φ

𝑑𝑠𝑑σ

.

(3)

420. Мы можем выразить углы θ, θ' и φ через 𝑟 и его производные по 𝑠 и σ:

cos θ

=

𝑑𝑟

𝑑𝑠

,

cos θ'

=

𝑑𝑟

𝑑σ

,

sin θ

sin θ'

cos φ

=

𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑σ

.

(4)

Для Π² таким образом, находим следующее выражение:

Π²

=

1

𝑟⁴

⎡

⎢

⎣

1

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

𝑑𝑟

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

𝑑σ

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

-

1

𝑟²

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑σ

⎞²

⎟

⎠

.

(5)

Третье выражение для Π через прямоугольные координаты можно вывести, исходя из того соображения, что объём пирамиды с телесным углом 𝑑ω и стороной 𝑟 равен

1

3

𝑟³

𝑑ω

=

1

3

𝑟³

Π

𝑑𝑠

𝑑σ

.

Но объём этой же пирамиды можно выразить также через проекции 𝑟, 𝑑𝑠 и 𝑑σ на оси 𝑥, 𝑦, и 𝑧 он равен одной трети детерминанта, образованного из этих девяти проекций. Таким образом, для значения Π находим

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

ξ-𝑥,

η-𝑦,

ζ-𝑧,

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

Π

=

-

1

𝑟³

𝑑ξ

𝑑σ

,

𝑑η

𝑑σ

,

𝑑ζ

𝑑σ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

,

𝑑𝑦

𝑑𝑠

,

𝑑𝑧

𝑑𝑠

.

(6)

Это выражение даёт значение Π, лишённое неоднозначности в выборе знака, внесённой уравнением (5).

421. Теперь для телесного угла ω с вершиной в точке 𝑃, опирающегося на замкнутую кривую, можно записать

ω

=

∬

Π

𝑑𝑠

𝑑σ

+

ω

₀

,

(7)

где интегрирование по 𝑠 производится по всей замкнутой кривой, а по σ - от некоторой фиксированной точки 𝐴 до точки 𝑃. Константа ω₀ равна значению телесного угла в точке 𝐴. Она обращается в нуль, если точка 𝐴 находится на бесконечном расстоянии от замкнутой кривой.

Значение ω в произвольной точке 𝑃 не зависит от формы кривой между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что эта кривая не проходит через саму магнитную оболочку. Если оболочка предполагается бесконечно тонкой, а точки 𝑃 и 𝑃' расположенными рядом, но 𝑃 - на положительной стороне оболочки, а 𝑃' - на отрицательной, то кривые 𝐴𝑃 и 𝐴𝑃' должны лежать по разные стороны от края оболочки, так что линия 𝑃𝐴𝑃' вместе с бесконечно короткой линией 𝑃𝑃' образует замкнутый контур, охватывающий край оболочки. Значение ω в точке 𝑃 превышает значение ω в точке 𝑃' на 4π, т.е. на величину поверхности сферы единичного радиуса.

Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла ∬Π𝑑𝑠𝑑σ, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4π.

Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой 𝑠 и произвольной кривой 𝐴𝑃, является примером многозначной функции, так как, если переходить из 𝐴 в 𝑃 различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая 𝐴𝑃 обернётся вокруг кривой 𝑠.

Если одна кривая между точками 𝐴 и 𝑃 может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением без пересечения кривой 𝑠, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую 𝑛 раз, значения интеграла будут отличаться на 4π𝑛.