Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых 𝑠 и σ, не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.

Если же кривые охватывают друг друга 𝑛 раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4π𝑛. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.

Рис. 4

Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.

422. Исследуем теперь результат интегрирования по 𝑠 вдоль замкнутой кривой.

Один из членов, определяющих Π в уравнении (7), равен

-

ξ-𝑥

𝑟³

𝑑η

𝑑σ

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=

𝑑η

𝑑σ

𝑑

𝑑ξ

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

.

(8)

Для краткости запишем

𝐹

=

∫

1

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑠

,

𝐺

=

∫

1

𝑟

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑠

,

𝐻

=

∫

1

𝑟

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑𝑠

,

(9)

где интегралы берутся однократно по замкнутой кривой 𝑠; тогда этот член в выражении для Π можно представить в виде

𝑑η

𝑑σ

𝑑²𝐻

𝑑ξ𝑑𝑠

,

а соответствующий ему член в ∫Π𝑑𝑠 будет

𝑑η

𝑑σ

𝑑𝐻

𝑑ξ

.

Собрав все члены, входящие в Π, мы можем теперь записать

-

𝑑ω

𝑑σ

=

-

∫

Π

𝑑𝑠

=

 =

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑η

-

𝑑𝐺

𝑑ζ

⎞

⎟

⎠

𝑑ξ

𝑑σ

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑ζ

-

𝑑𝐻

𝑑ξ

⎞

⎟

⎠

𝑑η

𝑑σ

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐺

𝑑ξ

-

𝑑𝐹

𝑑η

⎞

⎟

⎠

𝑑ζ

𝑑σ

.

(10)

Эта величина является, очевидно, скоростью уменьшения магнитного потенциала ω при прохождении вдоль кривой σ, или, другими словами, она представляет собой магнитную силу в направлении 𝑑σ.

Полагая элемент 𝑑σ поочерёдно направленным вдоль осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧, для значений составляющих магнитной силы получим

α

=-

𝑑ω

𝑑ξ

=

𝑑𝐻

𝑑η

-

𝑑𝐺

𝑑ζ

,

β

=-

𝑑ω

𝑑η

=

𝑑𝐹

𝑑ζ

-

𝑑𝐻

𝑑ξ

,

γ

=-

𝑑ω

𝑑ζ

=

𝑑𝐺

𝑑ξ

-

𝑑𝐹

𝑑η

.

(11)

Величины 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими вектор-потенциала магнитной оболочки единичной мощности, краем которой служит кривая 𝑠. В отличие от скалярного потенциала ω, они не относятся к функциям, принимающим целый ряд значений, а являются совершенно определёнными для каждой точки пространства.

Вектор-потенциал, создаваемый в точке 𝑃 магнитной оболочкой, ограниченной замкнутой кривой, можно найти путём следующих геометрических построений.

Пусть точка 𝑄 движется вдоль замкнутой кривой со скоростью, численно равной её расстоянию от точки 𝑃, а вторая точка 𝑅 выходит из некоторой фиксированной точки 𝐴 и движется с единичной скоростью в направлении, всюду параллельном направлению движения 𝑄. Когда точка 𝑄 обойдёт один раз замкнутую кривую, соединим точки 𝐴 и 𝑅 отрезком прямой. Отрезок 𝐴𝑅 по направлению и по величине представляет собой вектор-потенциал, создаваемый замкнутой кривой в точке 𝑃.

Потенциальная энергия магнитной оболочки, помещённой в магнитное поле

423. Мы уже показали в п. 410, что потенциальная энергия оболочки с мощностью φ, помещённой в магнитное поле с потенциалом 𝑉, равна

𝑀

=

φ

∬

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

,

(12)

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы внешней нормали к оболочке, проведённой наружу с положительной стороны; поверхностный интеграл берётся по всей оболочке.

Этот поверхностный интеграл можно теперь преобразовать в криволинейный с помощью вектор-потенциала магнитного поля, записав

𝑀

=

-φ

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

(13)

где интегрирование производится однократно по замкнутой кривой 𝑠, ограничивающей магнитную оболочку, а 𝑑𝑠 направлено против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оболочки.

Если предположить теперь, что магнитное поле создаётся второй магнитной оболочкой, имеющей мощность φ', то можно определить величину 𝐹 непосредственно из результатов п. 416 или из п. 405. Если 𝑙', 𝑚', 𝑛' - направляющие косинусы нормали к элементу второй оболочки, то мы имеем

𝐹

=

φ'

∬

⎛

⎜

⎝

𝑚'

𝑑

𝑑𝑧'

1

𝑟

-

𝑛'

𝑑

𝑑𝑦'

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆'

,

где 𝑑 - расстояние между элементом 𝑑𝑆' и точкой на границе первой оболочки.

Далее этот поверхностный интеграл также можно преобразовать в криволинейный, взятый по границе второй оболочки, а именно

φ'

∫

1

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

𝑑𝑠'

.

(14)

Аналогично

𝐺

=

φ'

∫

1

𝑟

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝑑𝑠'

,

𝐻

=

φ'

∫

1

𝑟

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

𝑑𝑠'

.

Подставляя эти величины в выражение для 𝑀, находим

𝑀

=

-φφ'

∬

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

+

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

+

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

,

(15)

где интегрирование выполняется однократно по кривой 𝑠 и однократно по 𝑠'. Это выражение даёт потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием двух оболочек, и, как это и должно быть, оно не изменяется от перестановки 𝑠 и 𝑠'. Взятое с обратным знаком при мощности обеих оболочек, равной единице, это выражение называется потенциалом двух замкнутых кривых 𝑠 и 𝑠'. Оно имеет большое значение в теории электрических токов. Если обозначить через ε угол между направлениями элементов 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠', можно записать потенциал 𝑠 и 𝑠' в виде

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(16)

Очевидно, что эта величина имеет размерность длины.

ГЛАВА IV

ИНДУЦИРОВАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ