Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Когда направление намагниченности совпадает с направлением магнитной силы, как это имеет место в железе, никеле, кобальте и т.д., то такое вещество называется Парамагнитным, Ферромагнитным или просто Магнитным. Когда индуцированная намагниченность направлена противоположно магнитной силе, как это имеет место в висмуте и др., то про такое вещество говорят, что оно является Диамагнитным.

Во всех этих диамагнитных веществах отношение намагниченности к создающей её магнитной силе чрезвычайно мало: в случае висмута, являющегося наиболее сильным диамагнитным веществом из числа известных, оно равно около 1/400 000.

В кристаллических, напряжённых и органических веществах направление намагниченности не всегда совпадает с направлением создающей её магнитной силы. Связь между составляющими намагниченности вдоль осей, связанных с телом, и составляющими магнитной силы можно выразить системой трёх линейных уравнений. Мы покажем, что из девяти коэффициентов, входящих в эти уравнения, только шесть являются независимыми. Явления в телах такого рода фигурируют под названием Магнитокристаллических явлений.

При помещении в поле магнитной силы кристаллы стремятся установиться так, чтобы ось максимальной парамагнитной (или минимальной диамагнитной) индукции была параллельна линиям магнитной силы, см. п. 436.

В мягком железе направление намагниченности совпадает с направлением магнитной силы в точке, и при малых величинах магнитной силы намагниченность примерно пропорциональна ей. Однако с увеличением магнитной силы намагниченность возрастает более медленно и, как следует, по-видимому, из экспериментов, описанных в гл. VI, существует предельное значение намагниченности, которое она не может превысить при любой магнитной силе.

В приводимых далее некоторых элементах теории индуцированного магнетизма мы начнём с предположения о том, что намагниченность пропорциональна магнитной силе и направлена по одной линии с ней.

Определение коэффициента индуцированной намагниченности

426. Пусть ℌ - магнитная сила, определённая, как в п. 398, в каждой точке тела, а 𝔍 - намагниченность в этой точке; отношение 𝔍 к ℌ называется коэффициентом индуцированной намагниченности.

Обозначив этот коэффициент через ϰ, запишем основное уравнение индуцированного магнетизма:

𝔍

=

ϰℌ

.

(1)

Коэффициент ϰ положителен для железа и парамагнитных веществ и отрицателен для висмута и диамагнитных веществ. В железе он достигает значения 1600, по некоторым сведениям он велик также для никеля и кобальта, но во всех остальных случаях это очень маленькая величина, не превышающая 0,000 01.

Сила ℌ возникает частично благодаря действию магнитов, внешних по отношению к телу, намагничиваемому по индукции, а частично благодаря индуцированной намагниченности самого этого тела. И обе эти составляющие удовлетворяют условию существования потенциала.

427. Пусть 𝑉 является потенциалом, обусловленным внешним относительно тела магнетизмом, а Ω - потенциалом, связанным с индуцированной намагниченностью, тогда если 𝑈 есть истинный потенциал, обусловленный обеими этими причинами, то

𝑈

=

𝑉

+

Ω

.

(2)

Пусть проекции магнитной силы ℌ на оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 равны α, β, γ, а проекции намагниченности 𝔍 - 𝐴, 𝐵, 𝐶, тогда согласно уравнению (1)

𝐴

=

ϰα

,

𝐵

=

ϰβ

,

𝐶

=

ϰγ

.

(3)

Умножив эти уравнения соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и сложив, найдём

𝐴𝑑𝑥

+

𝐵𝑑𝑦

+

𝐶𝑑𝑧

=

ϰ(

α𝑑𝑥

+

β𝑑𝑦

+

γ𝑑𝑧

).

Но, поскольку α, β и γ получаются из потенциала 𝑈, мы можем записать второй член как -ϰ𝑑𝑈.

Следовательно, если коэффициент ϰ всюду внутри вещества постоянен, то первый член также должен быть полным дифференциалом некоторой функции 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которую мы назовём φ, после чего уравнение принимает вид

𝑑φ

=

-ϰ𝑑𝑈

.

(4)

где

𝐴

=

𝑑φ

𝑑𝑥

,

𝐵

=

𝑑φ

𝑑𝑦

,

𝐶

=

𝑑φ

𝑑𝑧

.

(5)

Следовательно, по определению, принятому в п. 412, намагниченность является ламеллярной.

В п. 385 было показано, что объёмная плотность свободного магнетизма ρ равна

ρ

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

+

𝑑𝐵

𝑑𝑦

+

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

,

или с учётом уравнений (3)

ρ

=

-ϰ

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑥

+

𝑑β

𝑑𝑦

+

𝑑γ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

.

Но из п. 77

𝑑α

𝑑𝑥

+

𝑑β

𝑑𝑦

+

𝑑γ

𝑑𝑧

=

-4πρ

.

Поэтому (1+4πϰ)ρ=0, откуда следует, что

ρ

=

0

.

(6)

внутри всего вещества, и поэтому намагниченность оказывается и соленоидальной, и ламеллярной, см. п. 407.

Таким образом, свободного магнетизма нет нигде, кроме поверхности, ограничивающей тело. Если обозначить через ν нормаль, проведённую внутрь от поверхности, то магнитная поверхностная плотность будет равна

σ

=

𝑑φ

𝑑ν

.

(7)

Поэтому потенциал Ω в произвольной точке, создаваемый этой намагниченностью, можно найти из поверхностного интеграла

Ω

=

∬

σ

𝑟

𝑑𝑆

.

(8)

Значения Ω всюду конечны, непрерывны и удовлетворяют уравнению Лапласа в каждой точке внутри и вне поверхности. Если пометить штрихом потенциал Ω вне поверхности и обозначить через ν' нормаль, проведённую наружу, то на поверхности будем иметь

Ω

'

=

Ω

;

(9)

𝑑Ω

𝑑ν

+

𝑑Ω'

𝑑ν'

=

-4πσ

(см. п. 78б),

=

4π

𝑑φ

𝑑ν

(см. (7)),

=

-4πϰ

𝑑𝑈

𝑑ν

(см. (4)),

=

-4πϰ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑ν

+

𝑑Ω

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

(см. (2)).

Таким образом, мы можем записать второе условие на поверхности:

(

1

+

4πϰ

)

𝑑Ω

𝑑ν

+

𝑑Ω'

𝑑ν'

+

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑ν

=

0.

(10)