Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

=-

(4πϰ)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

1

-

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

,

(9)

𝐴

₂

=-

4πϰ𝑖

⎡

⎢

⎣

2𝑖

+

1

+

4πϰ

(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

1

-

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

,

(10)

𝐵

₂

=

4πϰ

𝑖(2𝑖+1)

𝑎

2𝑖+1

1

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

,

(11)

𝐵

₃

=

4πϰ

𝑖{2𝑖+1+4πϰ(𝑖+1)}

(

𝑎

2𝑖+1

2

-

𝑎

2𝑖+1

1

)

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

.

(12)

Эти величины при подстановке в ряды по гармоникам дают ту часть потенциала, которая обусловлена намагниченностью оболочки. Величина 𝑁_𝑖 всегда положительна, так как множитель (1+4πϰ) никогда не может быть отрицательным. Следовательно, 𝐴₁ всегда принимает отрицательные значения, или, другими словами, действие намагниченной оболочки в точке внутри неё всегда противоположно действию внешней магнитной силы, независимо от того, является ли оболочка парамагнитной или диамагнитной. Истинное значение результирующего потенциала внутри оболочки равно (𝐶_𝑖+𝐴₁)𝑆_𝑖𝑟^𝑖 или

(1+4πϰ)

(2𝑖+1)²

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

𝑆

_𝑖

𝑟

^𝑖

.

(13)

432. Если ϰ является большим числом, как в случае мягкого железа, то для не слишком тонкой оболочки магнитная сила внутри неё составляет малую долю внешней силы.

Именно таким способом сэр У. Томсон, поместив свой морской гальванометр в трубу из мягкого железа, сделал его независящим от внешней магнитной силы.

433. Наибольшую практическую ценность представляет случай 𝑖=1, для которого имеем

𝑁

_𝑖

=

1

,

9(1+4πϰ)

+

2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(14)

𝐴

₁

=

-2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑁

₁

𝐶

₁

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝐴

₂

=

-

4πϰ

⎡

⎢

⎣

3+8πϰ

⎛

⎜

⎝

1-

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑁

₁

𝐶

₁

,

𝐵

₂

=

12πϰ

𝑎

₁

³

𝑁

₁

𝐶

₁

,

𝐵

₂

=

-

4πϰ

(3+8πϰ)

(

𝑎

₂

³

-

𝑎

₁

³

)

𝑁

₁

𝐶

₁

.

(15)

В этом случае магнитная сила внутри полой оболочки является однородной, а её величина равна

𝐶

₁

+𝐴

₁

=

9(1+4πϰ)

𝐶

₁

.

9(1+4πϰ)

+

2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

1-

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(16)

Если мы хотим определить ϰ путём сравнения магнитной силы, измеренной внутри полой оболочки, с внешней магнитной силой, то наилучшее значение толщины оболочки можно найти из уравнения

1

-

𝑎₁³

𝑎₂³

=

9

2

1+4πϰ

2(4πϰ)²

.

(17)

Магнитная сила внутри оболочки при этом составляет половину значения магнитной силы вне оболочки.

Поскольку для железа значения ϰ лежат между 20 и 30, то толщина оболочки должна составлять около двух сотых долей её радиуса. Этот метод применим только при больших значениях ϰ. Если же они очень малы, то и величина 𝐴₁ становится неощутимо малой, так как она пропорциональна квадрату ϰ.

Для случая почти сплошной сферы с очень маленькой сферической полостью

𝐴

₁

=

-

2(4πϰ)²

(3+4πϰ)(3+8πϰ)

𝐶

₁

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝐴

₂

=

-

4πϰ

3+4πϰ

𝐶

₁

,

𝐵

₃

=

-

4πϰ

3+4πϰ

𝐶

₁

𝑎

₂

³

.

(18)

Это исследование можно было полностью провести, непосредственно исходя из решения задачи о протекании тока через сферическую оболочку, рассмотренную в п. 312. Для этого в приведённых там выражениях следует положить 𝑘₁=(1+4πϰ)𝑘₂ и учесть, что величины 𝐴₁ и 𝐴₂ в задаче о протекании тока эквивалентны величинам 𝐶₁+𝐴₁ и 𝐶₁+𝐴₂ в задаче о магнитной индукции.

434. Соответствующее двумерное решение представлено графически на рис. XV в конце этого тома. Там показано, как линии индукции, почти горизонтальные вдали от центра, искажаются поперечно намагниченным цилиндрическим стержнем, помещённым в положение устойчивого равновесия. Линии, пересекающие это семейство под прямыми углами, изображают эквипотенциальные поверхности, одна из которых является цилиндром. Большой пунктирный круг соответствует сечению цилиндра из парамагнитного вещества, а пунктирные горизонтальные линии внутри него изображают линии индукции в веществе, непрерывно переходящие во внешние линии индукции. Вертикальные пунктирные линии представляют собой внутренние эквипотенциальные поверхности, неразрывно связанные с внешней системой эквипотенциалей.

Следует отметить, что линии индукции сгущаются внутри вещества, а эквипотенциальные поверхности раздвигаются парамагнитным цилиндром, который, выражаясь языком Фарадея, проводит линии индукции лучше, чем окружающее вещество.

Если считать систему вертикальных линий линиями индукции, а горизонтальную систему - эквипотенциальными поверхностями, то получится, во-первых, случай поперечно намагниченного цилиндра, помещённого в неустойчивое равновесие среди раздвинутых им силовых линий; во-вторых, если считать, что большой пунктирный круг соответствует сечению диамагнитного цилиндра, пунктирные линии внутри него вместе с внешними линиями будут представлять действие диамагнитного вещества, состоящее в разрежении линий индукции и сближении эквипотенциальных поверхностей, ибо такое вещество является худшим проводником магнитной индукции, чем окружающая среда.

Случай сферы с коэффициентами намагниченности, различными в разных направлениях

435. Пусть α, β, γ - составляющие магнитной силы, а 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности в произвольной точке, тогда наиболее общее линейное соотношение между этими величинами даётся уравнениями

𝐴

=

𝑟

₁

α

+

𝑝

₃

β

+

𝑞

₂

γ

,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐵

=

𝑞

₃

α

+

𝑟

₂

β

+

𝑝

₁

γ

,

𝐶

=

𝑝

₂

α

+

𝑞

₁

β

+

𝑟

₂

γ

,

(1)

где 𝑝, 𝑞, 𝑟 - девять коэффициентов намагниченности.

Предположим теперь, что условия намагниченности внутри сферы радиуса α именно таковы и что намагниченность в каждой точке вещества однородна и одинаково направлена, а её составляющие равны 𝐴, 𝐵, 𝐶.