Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Итак, определение магнетизма, индуцированного в однородном изотропном ограниченном поверхностью 𝑆 теле, находящемся под действием внешних магнитных сил, потенциал которых равен 𝑉, может быть сведено к следующей математической задаче.

Мы должны найти две функции Ω и Ω', удовлетворяющие следующим условиям.

Внутри поверхности 𝑆 функция Ω должна быть конечной, непрерывной и должна удовлетворять уравнению Лапласа.

Вне поверхности 𝑆Ω должна быть конечной и непрерывной, она должна обращаться в нуль при бесконечном удалении от 𝑆 и удовлетворять уравнению Лапласа.

В каждой точке самой поверхности должно выполняться равенство Ω=Ω', а производные от функции Ω, Ω' и 𝑉 по нормали должны удовлетворять уравнению (10).

Такой подход к формулировке задачи об индуцированном магнетизме принадлежит Пуассону. Величина 𝑘, которую он использует в своих трудах, отличается от величины ϰ - они связаны между собой следующим соотношением:

4πϰ

(𝑘-1)

+

3𝑘

=

0.

(11)

Коэффициент ϰ, который мы здесь использовали, был введён Ф. Е. Нейманом.

428. Проблему индуцированного магнетизма можно рассматривать и другим способом, введя величину, которую мы, следуя Фарадею, назвали Магнитной Индукцией.

Связь между магнитной индукцией 𝔅, магнитной силой ℌ и намагниченностью 𝔍 выражается уравнением

𝔅

=

ℌ

+

4π𝔍

.

(12)

Индуцированная намагниченность выражается через магнитную силу следующим уравнением:

𝔍

=

ϰℌ

.

(13)

Отсюда, исключая 𝔍, находим

𝔅

=

(1+4πϰ)ℌ

,

(14)

что и является связью между магнитной индукцией и магнитной силой в веществах, намагниченность которых индуцирована магнитной силой.

В самом общем случае ϰ может быть функцией не только положения точки в веществе, но и направления вектора ℌ, однако в случае, который мы сейчас рассматриваем, ϰ является числом.

Если далее записать

μ

=

1

+

4πϰ

,

(15)

то можно определить μ как отношение магнитной индукции к магнитной силе и называть это отношение магнитной индуктивной способностью вещества, отличая её, таким образом, от коэффициента индуцированной намагниченности ϰ.

Если обозначить через 𝑈 полный магнитный потенциал, составленный из потенциала внешних источников 𝑉 и потенциала Ω, обусловленного индуцированной намагниченностью, то можно выразить составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 магнитной индукции и составляющие α, β, γ магнитной силы следующим образом:

𝑎

=

μα

=

-μ

𝑑𝑈

𝑑𝑥

,

𝑏

=

μβ

=

-μ

𝑑𝑈

𝑑𝑦

,

𝑐

=

μγ

=

-μ

𝑑𝑈

𝑑𝑧

.

(16)

Составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 удовлетворяют условию соленоидальности:

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑𝑏

𝑑𝑦

+

𝑑𝑐

𝑑𝑧

=

0.

(17)

Следовательно, потенциал 𝑈 должен удовлетворять уравнению Лапласа

𝑑²𝑈

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑈

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑈

𝑑𝑧²

=

0

(18)

в любой точке, где величина μ постоянна, т.е. в каждой точке внутри однородного вещества или в пустом пространстве.

Если обозначить через ν нормаль, проведённую внутрь вещества магнита, а через ν' - нормаль, проведённую наружу, и вообще все величины вне вещества отмечать штрихами, то условие непрерывности магнитной индукции на самой поверхности будет таким:

𝑎

𝑑𝑥

𝑑ν

+

𝑏

𝑑𝑦

𝑑ν

+

𝑐

𝑑𝑧

𝑑ν

+

𝑎'

𝑑𝑥

𝑑ν'

+

𝑏'

𝑑𝑦

𝑑ν'

+

𝑐'

𝑑𝑧

𝑑ν'

=

0,

(19)

или с учётом уравнений (16)

μ

𝑑𝑉

𝑑ν

+

μ'

𝑑𝑉

𝑑ν'

=

0,

(20)

где μ' -коэффициент индукции вне магнита, равный единице, если окружающая среда не является магнитной или диамагнитной.

Выражая 𝑈 через 𝑉 и Ω и μ через ϰ, получим то же самое уравнение (10), к которому мы пришли методом Пуассона.

Задача об индуцированном магнетизме, рассматриваемая с точки зрения связи между магнитной индукцией и магнитной силой, в точности соответствует задаче о протекании электрических токов в разнородной среде, рассмотренной в п. 310.

Магнитная сила выражается через магнитный потенциал точно так же, как электрическая сила выражается через электрический потенциал.

Магнитная индукция является величиной, имеющей природу потока, и она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток.

В изотропных средах зависимость магнитной индукции от магнитной силы точно соответствует зависимости электрического тока от электродвижущей силы.

Удельная магнитная индуктивная способность в первой задаче соответствует удельной проводимости во второй. Поэтому Томсон в своей «Теории индуцированного магнетизма» (Reprint, 1872, р. 484) назвал эту величину проницаемостью среды.

Теперь мы уже готовы к рассмотрению теории индуцированного магнетизма с той точки зрения, которой, как я полагаю, придерживался Фарадей.

Когда магнитная сила действует на произвольную среду, магнитную, диамагнитную или нейтральную, внутри неё возникает явление, называемое Магнитной Индукцией.

Магнитная индукция - это направленная величина, имеющая природу потока; она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток и другие потоки.

В изотропных средах магнитная сила и магнитная индукция одинаково направлены, причём магнитная индукция равна произведению магнитной силы на величину, называемую коэффициентом индукции, которую мы обозначили через μ.

В пустом пространстве коэффициент индукции равен единице. В телах, способных к индуцированному намагничиванию, коэффициент индукции равен μ=1+4πϰ, где ϰ - величина, уже определённая как коэффициент индуцированной намагниченности.