Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Для случая, когда проводимость среды равна μ₁, а проводимость сфер μ₂, мы получили, что проводимость составной среды равна

μ

=

μ

₁

2μ₁+μ₂+2𝑘(μ₂-μ₁)

2μ₁+μ₂-𝑘(μ₂-μ₁)

.

При μ₁=1 и μ₂=∞ это даёт

μ

=

1+2𝑘

1-𝑘

Эта величина μ определяет электрическую проводимость среды, состоящей из идеально проводящих сфер, распределённых в среде с единичной проводимостью, причём суммарный - агрегатный - объём всех сфер в единице объёма равен 𝑘.

Величина μ также представляет собой коэффициент магнитной индукции среды, состоящей из сфер с бесконечной проницаемостью, рассеянных в среде с проницаемостью, равной единице.

Величина 𝑘, которую мы будем называть Магнитным Коэффициентом Пуассона, представляет собой отношение объёма магнитных элементов к полному объёму вещества.

Величина ϰ известна как Коэффициент Индуцированной Намагниченности Неймана. Она более удобна, чем коэффициент Пуассона.

Величину μ мы будем называть Коэффициентом Магнитной Индукции. Её преимущество состоит в том, что она облегчает преобразование магнитных задач в соответствующие электрические и тепловые.

Соотношения между этими величинами таковы:

𝑘

=

4πϰ

4πϰ+3

,

𝑘

=

μ-1

μ+2

,

ϰ

=

μ-1

4π

,

ϰ

=

3𝑘

4π(1-𝑘)

,

μ

=

1+2𝑘

1-𝑘

,

μ

=

4πϰ

+

1.

Если положить ϰ=32 (именно такое значение дают эксперименты Талена ³ с мягким железом), то получим 𝑘=135/136 Но по теории Пуассона эта величина должна быть равна отношению объёма, занимаемого магнитными молекулами, к полному объёму железа. Однако ведь невозможно заполнить какое-либо пространство одинаковыми сферами так плотно, чтобы отношение их объёма к объёму этого пространства было бы столь близко к единице. И совершенно невероятно, чтобы такая большая доля объёма железа была занята твёрдыми молекулами, какую бы форму они ни имели. В этом состоит одна из причин, по которой мы должны отказаться от гипотезы Пуассона. Другие будут приведены в главе VI. Но, конечно, при этом полностью сохраняется значение математических исследований Пуассона, ибо они основаны не на его гипотезе, а на экспериментальном факте наличия индуцированной намагниченности.

³Recherches sur les propriétés magnétiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.

ГЛАВА V

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Полая сферическая оболочка

431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.

Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.

Если обозначить через 𝑉 потенциал, создаваемый внешней магнитной системой, то его можно будет разложить в ряд по пространственным гармоникам следующего вида:

𝑉

=

𝐶

₀

𝑆

₀

+

𝐶

₁

𝑆

₁

𝑟

+и т.д. +

𝐶

_𝑖

𝑆

_𝑖

𝑟

^𝑖

,

(1)

где 𝑟 - расстояние от центра оболочки, 𝑆_𝑖 - поверхностная гармоника 𝑖-гo порядка, 𝐶_𝑖 - коэффициент.

Этот ряд будет сходящимся при условии, что 𝑟 меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.

Обозначим через 𝑎₂ внешний радиус оболочки, через 𝑎₁ - внутренний радиус и через Ω - потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции Ω, вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику 𝑆_𝑖, мы увидим, что потенциал Ω₁, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида 𝐴₁𝑆_𝑖𝑟^𝑖, поскольку внутри сферы радиуса 𝑎₁ он не должен обращаться в бесконечность.

В веществе оболочки, где значения 𝑟 лежат между 𝑎₁ и 𝑎₂, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени 𝑟 вида 𝐴₂𝑆_𝑖𝑟^𝑖+𝐵₂𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1).

Вне оболочки, где 𝑟 больше 𝑎₂, разложение должно сходиться при сколь угодно больших 𝑟, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени 𝑟 вида 𝐵₃𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1)

Функция ω должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.

Из условия (1°) следует

𝐵

₁

=

0.

Из условия (2°) при 𝑟=𝑎₁

(

𝐴

₁

-

𝐴

₂

)

𝑎

2𝑖+1

1

-

𝐵

₂

=

0

(2)

и при 𝑟=𝑎₂

(

𝐴

₂

-

𝐴

₃

)

𝑎

2𝑖+1

2

+

𝐵

₂

-

𝐵

₃

=

0.

(3)

Из условия (3°) следует 𝐴₂, а условие (4°) выполнено всюду, так как все эти функции являются гармоническими.

Помимо этих условий, существуют и другие, которым в силу уравнения (10) п. 427 необходимо удовлетворить на внешней и внутренней сторонах оболочки.

На внутренней поверхности при 𝑟=𝐴₁.

(1+4πϰ)

𝑑Ω₂

𝑑𝑟

-

𝑑Ω₁

𝑑𝑟

+

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

(4)

на внешней поверхности при 𝑟=𝑎₂

-(1+4πϰ)

𝑑Ω₂

𝑑𝑟

+

𝑑Ω₃

𝑑𝑟

-

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

Из этих условий получаем уравнения

(1+4πϰ)

{

𝑖𝐴

₂

𝑎

2𝑖+1

1

-

(𝑖+1)𝐵

₂

}-

𝑖𝐴

₁

𝑎

2𝑖+1

1

+

4πϰ

𝑖𝐶

_𝑖

𝑎

2𝑖+1

1

=

0,

(6)

(1+4πϰ)

{

𝑖𝐴

₂

𝑎

2𝑖+1

2

-

(𝑖+1)𝐵

₂

}+

(𝑖+1)𝐵

₃

+

4πϰ

𝑖𝐶

_𝑖

𝑎

2𝑖+1

2

=

0;

(7)

из которых, обозначив

𝑁

_𝑖

=

1

,

(1+4πϰ)(2𝑖+1)²

+

(4πϰ)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

1

-

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(8)

находим

𝐴

₁